Il momento angolare quantistico \(\hat{\mathbf{L}} = \hat{L}_x \mathbf{\hat{i}} + \hat{L}_y \mathbf{\hat{j}} + \hat{L}_z \mathbf{\hat{k}}\) non può essere descritto da vettori classici ben definiti, poiché i suoi componenti non commutano. Tuttavia, esiste un’analogia geometrica detta “modello vettoriale” che permette di rappresentare i possibili valori di \(\hat{L}\) in modo intuitivo, almeno su un piano concettuale.
In questo modello, si immagina un vettore di lunghezza fissa \(\sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar\), dove \(\ell\) è il numero quantico del momento angolare, che indica la grandezza del momento angolare, mentre la sua proiezione lungo l’asse \(z\) è quantizzata in unità di \(\hbar\), con \(m\) che varia da \(-\ell\) a \(\ell\). Questa rappresentazione geometrica aiuta a capire la quantizzazione del momento angolare: non possiamo conoscere simultaneamente tutte le componenti, ma solo una proiezione e la grandezza del vettore totale.
Il modello vettoriale non è una rappresentazione realistica del vettore momento angolare come in classica. In meccanica quantistica, \(\hat{L}_x\), \(\hat{L}_y\) e \(\hat{L}_z\) non possono essere determinati con precisione simultaneamente. Tuttavia, sapere che \(\hat{\mathbf{L}}^2 = \ell(\ell+1)\hbar^2\) fissa la lunghezza “effettiva” del vettore, mentre \(\hat{L}_z = m\hbar\) fissa la proiezione su un asse privilegiato, tipicamente \(z\). L’incertezza nelle altre componenti fa sì che il vettore “ruoti” attorno all’asse \(z\), generando un’immagine mentale di un cono sul quale il vettore potrebbe “precessare”.
Il momento angolare è un elemento chiave in molte parti della meccanica quantistica. Ad esempio:
Il modello vettoriale del momento angolare è uno strumento didattico. Non va preso alla lettera come una “realtà” fisica, ma piuttosto come una rappresentazione metaforica per comprendere la quantizzazione del momento angolare e la natura delle autofunzioni associate. È utile per avere un quadro intuitivo: immagina un vettore con lunghezza fissata dalla relazione \(\ell(\ell+1)\) e una componente \(\hat{L}_z\) quantizzata in salti di \(\hbar\). Questo aiuta a visualizzare perché i numeri quantici \(\ell\) e \(m\) appaiano naturalmente e come la nozione di direzione e grandezza del momento angolare sia modificata dall’incertezza quantistica.
Procedendo con maggiore rigore, partiamo dalle relazioni di commutazione fondamentali del momento angolare. Gli operatori soddisfano le relazioni:
\[ [\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z, \quad [\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x, \quad [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y. \]A partire da queste, si definiscono gli operatori di elevazione e abbassamento \(\hat{L}_+\) e \(\hat{L}_-\) come:
\[ \hat{L}_+ = \hat{L}_x + i\hat{L}_y, \quad \hat{L}_- = \hat{L}_x - i\hat{L}_y. \]Applicando \(\hat{L}_+\) e \(\hat{L}_-\) agli autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\), si può ricavare che se \(\phi_{\ell,m}\) è un autostato con numero quantico azimutale \(\ell\) e proiezione \(m\), allora:
\[ \hat{L}_+\phi_{\ell,m} = \hbar \sqrt{\ell(\ell+1)-m(m+1)}\,\phi_{\ell,m+1}, \] \[ \hat{L}_-\phi_{\ell,m} = \hbar \sqrt{\ell(\ell+1)-m(m-1)}\,\phi_{\ell,m-1}. \]Queste formule mostrano come il valore di \(m\) vari di un’unità alla volta, riproducendo la quantizzazione della proiezione del momento angolare e rendendo evidente la struttura discreta di possibili stati. Il fattore \(\sqrt{\ell(\ell+1)}\) determina la lunghezza del “vettore” nel modello, mentre i valori di \(m\) specificano la posizione quantizzata di \(\hat{L}_z\).
Il modello vettoriale trova un impiego particolarmente chiaro quando si affrontano problemi in tre dimensioni con simmetria sferica. Se l’Hamiltoniano dipende solo da \(r\), ossia \(V=V(r)\), è naturale usare coordinate sferiche \((r, \theta, \phi)\) per separare le variabili. In questo contesto:
Si ottiene che la parte angolare della funzione d’onda è espressa tramite gli armonici sferici \(Y_{\ell,m}(\theta, \phi)\), che sono autofunzioni di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\).
I numeri quantici \(\ell\) e \(m\) emergono naturalmente come etichette per classificare le soluzioni. L’equazione radiale per la parte \(R(r)\) si riduce a un problema unidimensionale con un potenziale efficace. Impostando \(u(r)=r R(r)\), si ottiene un’equazione del tipo:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2u}{dr^2} + \left[V(r) + \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2mr^2}\right]u = E u. \]A questo punto, il ruolo del momento angolare è esplicito: il termine \(\frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2mr^2}\) può essere interpretato come una “barriera” centrifuga. Il modello vettoriale aiuta a comprendere l’origine di questa barriera: l’energia associata alla rotazione intorno al centro impedisce alla particella di collassare radialmente, stabilendo così condizioni al contorno che determinano i livelli energetici discreti nei sistemi legati (come per l’atomo di idrogeno o l’oscillatore armonico tridimensionale).
Sebbene non si possa tracciare un singolo vettore classico per descrivere \(\hat{\mathbf{L}}\), il modello vettoriale fornisce una chiave di lettura intuitiva, rendendo più semplici la visualizzazione delle quantizzazioni e i risultati che compaiono naturalmente nelle soluzioni dell’equazione di Schrödinger in 3 dimensioni per potenziali centrali.
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