Momento Angolare Orbitale e Spin ½

La composizione del momento angolare orbitale \( \mathbf{L} \) con lo spin \( \mathbf{S} \) è uno degli aspetti fondamentali della meccanica quantistica. Questa combinazione porta alla definizione del momento angolare totale \( \mathbf{J} \), dato da:

\[ \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S} \]

Dove \( \mathbf{L} \) rappresenta il momento angolare orbitale, legato al moto della particella nello spazio, e \( \mathbf{S} \) è il momento angolare intrinseco associato allo spin della particella. Entrambi sono operatori vettoriali con specifiche proprietà di commutazione:

\[ [J_i, J_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} J_k, \quad [L_i, L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k, \quad [S_i, S_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} S_k \]

L'operatore \( \mathbf{J} \) soddisfa le stesse relazioni di commutazione e ha autovalori determinati da:

\[ J^2 \ket{j, m_j} = \hbar^2 j (j+1) \ket{j, m_j}, \quad J_z \ket{j, m_j} = \hbar m_j \ket{j, m_j} \]

Qui \( j \) è il numero quantico totale, mentre \( m_j \) è la componente del momento angolare totale lungo l'asse \( z \). Quando \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \) si combinano, il valore di \( j \) è dato da:

\[ j = |l - s|, |l - s| + 1, \dots, l + s \]

Per un sistema con \( l = 1 \) e \( s = \frac{1}{2} \), ad esempio, \( j \) può assumere i valori \( \frac{1}{2} \) e \( \frac{3}{2} \).

Coefficenti di Clebsch-Gordan

La combinazione di stati quantistici associati a \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \) richiede l'uso dei coefficienti di Clebsch-Gordan. Essi forniscono l'espressione dei nuovi autostati \( \ket{j, m_j} \) in termini degli autostati \( \ket{l, m_l} \) e \( \ket{s, m_s} \):

\[ \ket{j, m_j} = \sum_{m_l, m_s} C_{l, s, m_l, m_s}^{j, m_j} \ket{l, m_l} \ket{s, m_s} \]

Dove \( C_{l, s, m_l, m_s}^{j, m_j} \) rappresenta il coefficiente di Clebsch-Gordan e risponde a specifiche regole di selezione basate sui numeri quantici \( m_l \), \( m_s \) e \( m_j \).

Applicazioni

La combinazione \( \mathbf{L} + \mathbf{S} \) è cruciale in fisica atomica e molecolare. Ad esempio, nello spettro dell'idrogeno, i livelli energetici dipendono dalla struttura fine, che nasce dall'accoppiamento tra momento angolare orbitale e spin elettronico.

Analisi Matematica del Momento Angolare Totale

Per comprendere appieno la combinazione di \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \), consideriamo il prodotto tensoriale degli spazi degli stati. Ogni stato del sistema è rappresentato da \( \ket{l, m_l} \ket{s, m_s} \), dove \( m_l \) e \( m_s \) sono le componenti \( z \) di \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \), rispettivamente. Gli operatori \( J^2 \) e \( J_z \) sono definiti sull'intero spazio combinato:

\[ J^2 = (\mathbf{L} + \mathbf{S})^2 = L^2 + S^2 + 2 \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \]

Qui, \( \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \) rappresenta il prodotto scalare tra \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \), che si esprime come:

\[ \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} = \frac{1}{2} \left( J^2 - L^2 - S^2 \right) \]

Questa relazione è fondamentale perché il termine \( \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \) determina lo splitting energetico nei livelli atomici, noto come accoppiamento spin-orbita.

Proprietà Degli Autovalori

Gli autovalori di \( J^2 \) e \( J_z \) seguono le regole standard della meccanica quantistica. Per \( j \), il numero quantico totale, gli autovalori di \( J^2 \) sono:

\[ J^2 \ket{j, m_j} = \hbar^2 j(j+1) \ket{j, m_j} \]

Dove \( j \) varia tra \( |l - s| \) e \( l + s \). Per ciascun valore di \( j \), \( m_j \) varia da \( -j \) a \( j \) con incrementi unitari. Ad esempio, se \( l = 1 \) e \( s = \frac{1}{2} \):

Questa combinazione genera una struttura a livelli energetici differenziati, ciascuno associato a uno stato quantistico ben definito.

Coefficienti di Clebsch-Gordan: Calcolo Esplicito

I coefficienti di Clebsch-Gordan, \( C_{l, s, m_l, m_s}^{j, m_j} \), sono utilizzati per combinare stati quantistici. Ad esempio, per \( l = 1 \), \( s = \frac{1}{2} \), e \( j = \frac{3}{2} \), uno stato combinato può essere scritto come:

\[ \ket{\frac{3}{2}, \frac{3}{2}} = \ket{1, 1} \ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \]

Altri stati richiedono la sovrapposizione lineare:

\[ \ket{\frac{3}{2}, \frac{1}{2}} = C_{1, \frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}, \frac{1}{2}} \ket{1, 1} \ket{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}} + C_{1, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}, \frac{1}{2}} \ket{1, 0} \ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \]

Dove i coefficienti di Clebsch-Gordan sono calcolati tramite regole algebriche note e tabulati per convenienza.

Conclusioni Applicative

La comprensione della somma di \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \) non è solo teorica, ma trova applicazioni dirette nella spettroscopia atomica e nei sistemi molecolari. L'accoppiamento spin-orbita, per esempio, è responsabile della struttura fine negli spettri atomici, mentre in fisica delle particelle, la combinazione di spin e momento angolare orbitale descrive stati compositi di sistemi multipli.

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