La composizione del momento angolare orbitale \( \mathbf{L} \) con lo spin \( \mathbf{S} \) è uno degli aspetti fondamentali della meccanica quantistica. Questa combinazione porta alla definizione del momento angolare totale \( \mathbf{J} \), dato da:
Dove \( \mathbf{L} \) rappresenta il momento angolare orbitale, legato al moto della particella nello spazio, e \( \mathbf{S} \) è il momento angolare intrinseco associato allo spin della particella. Entrambi sono operatori vettoriali con specifiche proprietà di commutazione:
L'operatore \( \mathbf{J} \) soddisfa le stesse relazioni di commutazione e ha autovalori determinati da:
Qui \( j \) è il numero quantico totale, mentre \( m_j \) è la componente del momento angolare totale lungo l'asse \( z \). Quando \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \) si combinano, il valore di \( j \) è dato da:
Per un sistema con \( l = 1 \) e \( s = \frac{1}{2} \), ad esempio, \( j \) può assumere i valori \( \frac{1}{2} \) e \( \frac{3}{2} \).
La combinazione di stati quantistici associati a \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \) richiede l'uso dei coefficienti di Clebsch-Gordan. Essi forniscono l'espressione dei nuovi autostati \( \ket{j, m_j} \) in termini degli autostati \( \ket{l, m_l} \) e \( \ket{s, m_s} \):
Dove \( C_{l, s, m_l, m_s}^{j, m_j} \) rappresenta il coefficiente di Clebsch-Gordan e risponde a specifiche regole di selezione basate sui numeri quantici \( m_l \), \( m_s \) e \( m_j \).
La combinazione \( \mathbf{L} + \mathbf{S} \) è cruciale in fisica atomica e molecolare. Ad esempio, nello spettro dell'idrogeno, i livelli energetici dipendono dalla struttura fine, che nasce dall'accoppiamento tra momento angolare orbitale e spin elettronico.
Per comprendere appieno la combinazione di \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \), consideriamo il prodotto tensoriale degli spazi degli stati. Ogni stato del sistema è rappresentato da \( \ket{l, m_l} \ket{s, m_s} \), dove \( m_l \) e \( m_s \) sono le componenti \( z \) di \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \), rispettivamente. Gli operatori \( J^2 \) e \( J_z \) sono definiti sull'intero spazio combinato:
Qui, \( \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \) rappresenta il prodotto scalare tra \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \), che si esprime come:
Questa relazione è fondamentale perché il termine \( \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \) determina lo splitting energetico nei livelli atomici, noto come accoppiamento spin-orbita.
Gli autovalori di \( J^2 \) e \( J_z \) seguono le regole standard della meccanica quantistica. Per \( j \), il numero quantico totale, gli autovalori di \( J^2 \) sono:
Dove \( j \) varia tra \( |l - s| \) e \( l + s \). Per ciascun valore di \( j \), \( m_j \) varia da \( -j \) a \( j \) con incrementi unitari. Ad esempio, se \( l = 1 \) e \( s = \frac{1}{2} \):
Questa combinazione genera una struttura a livelli energetici differenziati, ciascuno associato a uno stato quantistico ben definito.
I coefficienti di Clebsch-Gordan, \( C_{l, s, m_l, m_s}^{j, m_j} \), sono utilizzati per combinare stati quantistici. Ad esempio, per \( l = 1 \), \( s = \frac{1}{2} \), e \( j = \frac{3}{2} \), uno stato combinato può essere scritto come:
Altri stati richiedono la sovrapposizione lineare:
Dove i coefficienti di Clebsch-Gordan sono calcolati tramite regole algebriche note e tabulati per convenienza.
La comprensione della somma di \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \) non è solo teorica, ma trova applicazioni dirette nella spettroscopia atomica e nei sistemi molecolari. L'accoppiamento spin-orbita, per esempio, è responsabile della struttura fine negli spettri atomici, mentre in fisica delle particelle, la combinazione di spin e momento angolare orbitale descrive stati compositi di sistemi multipli.
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