Il momento angolare è una quantità chiave nella descrizione quantistica dei sistemi con simmetria rotazionale. In meccanica quantistica, gli operatori di momento angolare soddisfano specifiche relazioni di commutazione e possiedono autovalori quantizzati. La struttura del momento angolare è connessa allo studio di sistemi centrali, dell’equazione di Schrödinger in tre dimensioni, nonché alla trattazione dell’oscillatore armonico 3D e dei potenziali centrali.
Il momento angolare orbitale per una singola particella è definito in termini di posizione \(\hat{\mathbf{r}}\) e impulso \(\hat{\mathbf{p}}\) come:
\[ \hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{p}}. \]In componenti cartesiane:
\[ \hat{L}_x = \hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y, \quad \hat{L}_y = \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z, \quad \hat{L}_z = \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x. \]Gli operatori \(\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z\) non commutano fra di loro, ma soddisfano le commutazioni:
\[ [\hat{L}_x,\hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z, \quad [\hat{L}_y,\hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x, \quad [\hat{L}_z,\hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y. \]È utile introdurre gli operatori scalatori di innalzamento e abbassamento:
\[ \hat{L}_\pm = \hat{L}_x \pm i\hat{L}_y. \] Questi operatori cambiano il numero quantico \(m\) associato alla componente \(\hat{L}_z\). Conoscendo \(\hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2\) e \(\hat{L}_z\), otteniamo gli autovalori del momento angolare quantizzato.Il modello vettoriale del momento angolare immagina \(\hat{\mathbf{L}}\) come un vettore quantistico con lunghezza ed orientamento incerti, ma con valore atteso e incertezze che soddisfano i limiti imposti dalle relazioni di indeterminazione. Nel modello vettoriale, consideriamo che \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\) possono avere valori definiti simultaneamente. Le autovalutazioni:
\[ \hat{L}^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1)|l,m\rangle, \quad \hat{L}_z |l,m\rangle = \hbar m |l,m\rangle, \] dove \(l\) è intero o semintero, e \(m \in \{-l, -l+1, \dots, l-1, l\}\).L’evoluzione temporale degli operatori in meccanica quantistica può essere studiata nell’immagine di Heisenberg. Se \(\hat{A}\) è un operatore, la sua evoluzione è data da:
\[ \frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A}] + \left(\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right)_\text{esplicita}. \]Per gli operatori di momento angolare, se l’Hamiltoniano \(\hat{H}\) è invariante per rotazioni (ad esempio un potenziale centrale), allora \([\hat{H}, \hat{\mathbf{L}}]=0\) e il momento angolare totale si conserva nel tempo. Ciò significa che \(\hat{L}^2\) e una sua componente (di solito \(\hat{L}_z\)) sono costanti del moto.
L’equazione di Schrödinger in 3D, per un potenziale centrale \(V(r)\) (con \(r=|\mathbf{r}|\)), si può scrivere in coordinate sferiche. Grazie alla simmetria sferica, è naturale separare la parte radiale e angolare della funzione d’onda:
\[ \psi(\mathbf{r},\theta,\varphi) = R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\varphi), \] dove \(Y_l^m(\theta,\varphi)\) sono le armoniche sferiche, autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\), e \(R(r)\) è la parte radiale, determinata dall’equazione radiale.L’oscillatore armonico tridimensionale è un problema paradigmatico. L’Hamiltoniano è:
\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2. \] Le autofunzioni si separano in coordinate sferiche in una parte radiale e una angolare. Le soluzioni sono classificabili tramite i numeri quantici \(n_r\) (radiale) e \((l,m)\) (angolari). Anche per questo sistema, \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\) commutano con \(\hat{H}\), consentendo la classificazione degli stati secondo il momento angolare.Per un potenziale centrale \(V(r)\), l’equazione radiale, dopo aver separato le variabili, assume una forma standard introducendo la funzione radiale modificata \(u(r)=rR(r)\). In questo modo, l’equazione radiale diventa un’equazione del tipo:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u(r)}{dr^2} + \left[V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2}\right]u(r) = E u(r). \]Questa forma evita la singolarità in \(r=0\) e rende la trattazione più diretta. La barriera centrifuga \(\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2}\) emerge naturalmente, collegando il momento angolare al comportamento radiale della particella.
La comprensione del momento angolare è essenziale per sistemi atomici, molecolari e nucleari. Le proprietà di quantizzazione di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\), insieme all’invarianza rotazionale del potenziale, permettono di costruire soluzioni dell’equazione di Schrödinger più facilmente. La struttura a multipli quantici \((l,m)\) è alla base della comprensione degli orbitali atomici (armoniche sferiche), dei multipoli in fisica nucleare e dei modi vibrazionali nello studio dell’oscillatore armonico 3D.
Per comprendere a fondo la quantizzazione di l e m, consideriamo gli operatori di innalzamento e abbassamento \(\hat{L}_\pm = \hat{L}_x \pm i \hat{L}_y\). Questi operatori, applicati a uno stato \(|l,m\rangle\), modificano il valore di m in modo determinato:
\[ \hat{L}_\pm |l,m\rangle = \hbar\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}\,|l,m\pm1\rangle. \]Se si parte da uno stato di indice m massimo, esiste un limite superiore a m, altrimenti potremmo innalzarlo all’infinito. Questo limite definisce la dimensione dello spazio dei possibili autostati con lo stesso l. Analogamente, partendo dallo stato con m più alto, se si applica \(\hat{L}_-\) ripetutamente, si raggiunge un punto in cui non si può più abbassare il valore di m. Tali argomentazioni portano a concludere che m varia da -l a l in passi unitari, e che l è un numero intero o mezzo intero. Questi risultati non spuntano dal nulla: discendono dalle proprietà algebriche di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\), nonché dal fatto che l’Hilbert space associato è uno spazio di rappresentazione dei gruppi di rotazione, i cui caratteri discreti sono noti in matematica delle rappresentazioni.
Alla lavagna si può procedere come segue:
Considerando l’equazione di Schrödinger in tre dimensioni, il fatto che \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\) commutino con l’Hamiltoniano quando il potenziale è centrale significa che gli autostati di energia possono essere scelti anche come autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\). Questo semplifica enormemente la risoluzione del problema. Si passa a coordinate sferiche (r,θ,φ), separando la funzione d’onda in una parte radiale R(r) e una parte angolare Y_l^m(θ,φ). Il termine angolare è dato dalle armoniche sferiche, che sono esattamente gli autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\).
L’equazione radiale assume allora la forma (introducendo u(r)=rR(r) per rimuovere la singolarità in r=0):
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u}{d r^2} + \left[V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2}\right] u(r) = E u(r). \]Questo termine extra \(\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2}\) è interpretabile come una barriera centrifuga che appare quando il sistema ha momento angolare non nullo. Non è un artifizio, ma una conseguenza diretta del fatto che in 3D, quando le soluzioni si separano in coordinate sferiche, il termine angolare mette in gioco il momento angolare quantizzato.
Per quanto riguarda l’oscillatore armonico 3D, si ottengono insiemi di livelli energetici quantizzati, con degenerazioni legate al fatto che l’energia dipende da n_r e l, ma non da m. L’elevata simmetria del potenziale armonico isotropo genera degenerazioni più estese rispetto al semplice caso unidimensionale, riflettendo la libertà di orientamento nello spazio. Anche in questo caso la presenza di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\) come integrali del moto semplifica l’analisi, consentendo di classificare gli stati in base a tali numeri quantici.
Se si tratta di un potenziale centrale diverso, ad esempio quello coulombiano per l’atomo di idrogeno, la quantizzazione del momento angolare rimane un ingrediente chiave per ottenere le funzioni d’onda, gli orbitali. In definitiva, si sfruttano gli operatori del momento angolare per decomporre il problema in una parte radiale e una angolare, arrivando a funzioni Y_l^m(θ,φ) universali e a equazioni radiali che dipendono esclusivamente dal potenziale in questione.