Il momento angolare quantistico è un osservabile fondamentale che caratterizza i sistemi dotati di simmetria rotazionale. In meccanica quantistica, gli operatori del momento angolare non commutano tra loro, riflettendo l’impossibilità di conoscere simultaneamente tutte le componenti con precisione arbitraria. L’operatore momento angolare orbitale è definito come:
\[ \hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{p}}, \] dove \(\hat{\mathbf{r}}\) è l’operatore posizione e \(\hat{\mathbf{p}}\) l’operatore impulso. Le componenti cartesiane \(\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z\) soddisfano le note relazioni di commutazione: \[ [\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z, \quad [\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x, \quad [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y. \]È spesso utile lavorare con gli operatori di salita e discesa (ladder operators) definiti come:
\[ \hat{L}_+ = \hat{L}_x + i\hat{L}_y, \quad \hat{L}_- = \hat{L}_x - i\hat{L}_y. \]Questi operatori permettono di passare tra diversi autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\). Se \(|l,m\rangle\) è un autostato di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\) con autovalori \(\hbar^2 l(l+1)\) ed \(\hbar m\), allora:
\[ \hat{L}_\pm |l,m\rangle = \hbar \sqrt{l(l+1)-m(m\pm 1)} |l, m\pm 1\rangle. \]In altre parole, \(\hat{L}_+\) aumenta il numero quantico \(m\) di una unità, mentre \(\hat{L}_-\) lo diminuisce, entro i limiti consentiti dal valore di \(l\).
Il momento angolare quantistico può essere visualizzato come un “vettore” che ha una grandezza definita da \(\hat{L}^2\) ma una componente precisa, ad esempio \(\hat{L}_z\). L’incertezza nelle altre componenti riflette la natura non commutativa degli operatori. Nell’immagine vettoriale si immagina un vettore di lunghezza \(\sqrt{l(l+1)}\hbar\) con un valore definito di \(\hat{L}_z = \hbar m\), ma senza una direzione esatta nel piano xy.
L’evoluzione temporale di \(\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z\) in meccanica quantistica dipende dall’Hamiltoniano \(\hat{H}\). Se l’Hamiltoniano è invariante per rotazioni attorno all’asse z (ad esempio un potenziale centrale), allora \(\hat{L}_z\) commuta con \(\hat{H}\) e si conserva nel tempo. L’evoluzione degli altri componenti può essere determinata dalle equazioni di moto di Heisenberg:
\[ \frac{d\hat{L}_x}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{L}_x], \quad \frac{d\hat{L}_y}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{L}_y], \quad \frac{d\hat{L}_z}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{L}_z]. \]In tre dimensioni, l’equazione di Schrödinger per un potenziale \(V(r)\) dipendente solo da \(r = |\mathbf{r}|\) separa naturalmente in coordinate sferiche. Poiché \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\) commutano con l’Hamiltoniano di un potenziale centrale, gli autostati possono essere classificati con i numeri quantici \(l\) e \(m\). Le soluzioni prendono la forma:
\[ \psi(r,\theta,\varphi) = R_{nl}(r) Y_{l}^{m}(\theta,\varphi), \] dove \(Y_{l}^{m}\) sono le armoniche sferiche, autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\). L’equazione radiale separata fornisce gli autovalori di energia e le funzioni radiali \(R_{nl}(r)\).L’oscillatore armonico tridimensionale è un esempio classico in cui l’Hamiltoniano è:
\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2r^2. \] Gli autostati possono essere classificati con i numeri quantici \(n_r, l, m\). L’invarianza sferica consente di scegliere una base di autofunzioni classificate da \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\). L’uso di \(L_\pm\) è particolarmente utile per studiare le proprietà di simmetria e i passaggi tra i vari livelli dello stesso valore di \(l\) ma differente \(m\).Nel caso di un potenziale centrale, l’equazione radiale ridotta in coordinate sferiche spesso si riscrive introducendo \(u(r)=R(r)r\). L’equazione risultante per \(u(r)\) è un’equazione differenziale ordinaria con potenziali efficaci che includono il termine centrifugo proporzionale a \(l(l+1)/r^2\). Le soluzioni ottenute forniscono gli autostati di energia con precisi valori di \(l\) e \(m\). Le armoniche sferiche corrispondono a specifici valori di \(l\) e \(m\), e gli operatori \(\hat{L}_+\) e \(\hat{L}_-\) permettono di navigare tra i diversi \(|l,m\rangle\) per un dato \(l\).
L’utilità degli operatori \(\hat{L}_+\) e \(\hat{L}_-\) risiede nella possibilità di determinare facilmente le armoniche sferiche e di studiare le proprietà di simmetria e degenerazione dei livelli energetici in potenziali centrali. Inoltre, il formalismo del momento angolare è essenziale per comprendere lo spettro dell’atomo di idrogeno, l’oscillatore armonico 3D, e in generale tutti i sistemi con simmetria sferica.
Si consideri il sistema: un operatore momento angolare con componenti cartesiane \(\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z\), ciascuna data in termini di posizione \(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\) e impulso \(\hat{p}_x, \hat{p}_y, \hat{p}_z\). Scrivere esplicitamente gli operatori aiuta a comprendere l’origine delle relazioni di commutazione. La definizione fondamentale è:
\( \hat{L}_x = \hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y \), \( \hat{L}_y = \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z \), \( \hat{L}_z = \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x \).
Sostituendo \(\hat{p}_j = -i\hbar \frac{\partial}{\partial j}\) (dove \(j\) rappresenta una coordinata spaziale), si vede che ogni componente di \(\hat{\mathbf{L}}\) è un operatore differenziale lineare. Il non-commutare delle derivate parziali con le funzioni coordinate è la radice del non-commutare dei componenti di \(\hat{\mathbf{L}}\).
L’operazione di passare da \((\hat{L}_x, \hat{L}_y)\) a \((\hat{L}_+, \hat{L}_-)\) è semplicemente una rotazione nello spazio degli operatori. Si definisce:
\( \hat{L}_+ = \hat{L}_x + i \hat{L}_y \), \( \hat{L}_- = \hat{L}_x - i \hat{L}_y \).
Perché questa combinazione è utile? Perché \(\hat{L}_\pm\) agiscono come “operatori scalino” sugli autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\). Se partiamo da uno stato \(|l,m\rangle\) che soddisfa:
\(\hat{L}^2|l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1)|l,m\rangle\) e \(\hat{L}_z|l,m\rangle = \hbar m|l,m\rangle\),
allora si può mostrare, inserendo \(\hat{L}_\pm\) tra questi ket, che si ottengono nuovi stati con \(m\) incrementato o decrementato di 1. Il calcolo è diretto: si prende l’espressione di \(\hat{L}_+ \hat{L}_-\) o \(\hat{L}_- \hat{L}_+\) e si usa la relazione tra questi prodotti e \(\hat{L}^2, \hat{L}_z\) per dedurre la formula per l’azione di \(\hat{L}_\pm\). Il risultato canonico è:
\( \hat{L}_\pm |l,m\rangle = \hbar\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}|l,m\pm1\rangle.\)
Questo passaggio si può dimostrare considerando il commutatore \([\hat{L}_z, \hat{L}_\pm]\) e ricordando che \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\) commutano, quindi \(\hat{L}_\pm\) non cambia il valore di \(l\) ma modifica solo \(m\). La quantità \(l(l+1)-m(m\pm1)\) appare naturalmente dal trattamento algebrico dei commutatori:
\([\hat{L}_z, \hat{L}_\pm] = \pm \hbar \hat{L}_\pm\)
e inoltre si utilizzano le identità risultanti dalla relazione tra \(\hat{L}^2\), \(\hat{L}_z\), \(\hat{L}_+\), \(\hat{L}_-\) per estrarre il valore del coefficiente di normalizzazione. Questi dettagli matematici possono essere mostrati integralmente alla lavagna, partendo da \(\hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2\) e scrivendo \(\hat{L}_x\) e \(\hat{L}_y\) in funzione di \(\hat{L}_\pm\).
La scelta di lavorare con \(\hat{L}_\pm\) è quindi conveniente perché riduce la risoluzione del problema del momento angolare a un problema algebrico. Una volta determinati \(l\) e i possibili \(m\), si costruiscono le armoniche sferiche che realizzano la rappresentazione in coordinate spaziali. Ciò permette di affrontare potenziali centrali in 3 dimensioni separando le variabili e riconducendo la parte angolare agli autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\).
Nel caso specifico di un potenziale centrale, l’equazione di Schrödinger tridimensionale si separa in un’equazione radiale e in un’equazione angolare. Le funzioni d’onda si esprimono come \( \psi(r,\theta,\varphi) = R_{nl}(r) Y_l^m(\theta,\varphi) \). Le armoniche sferiche \(Y_l^m(\theta,\varphi)\) sono proprio gli autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\), e i numeri quantici \(l,m\) identificano i momenti angolari. Gli operatori \(\hat{L}_\pm\) svolgono il ruolo di strumenti per muoversi all’interno dello stesso multiplet di \(l\), cambiando \(m\) senza alterare \(l\). Questo quadro è alla base della comprensione dello spettro dell’atomo di idrogeno, dell’oscillatore armonico in 3D e di tutti i problemi con simmetria sferica.