Notazione di Dirac
Introduzione
La notazione di Dirac, o notazione bra-ket, è un linguaggio matematico introdotto per descrivere in modo compatto e generale lo spazio degli stati quantistici.
Gli stati di un sistema quantistico sono rappresentati da vettori in uno spazio di Hilbert.
Definizione
Un vettore nello spazio di Hilbert è rappresentato da un "ket":
\[
|\psi\rangle
\]
Il corrispondente vettore duale, che rappresenta l'operazione di coniugazione hermitiana, è indicato con un "bra":
\[
\langle\psi|
\]
L'elemento di sovrapposizione tra due stati \( |\psi\rangle \) e \( |\phi\rangle \) è il prodotto scalare:
\[
\langle\phi|\psi\rangle
\]
Operatori lineari
Gli operatori lineari \( \hat{A} \) agiscono sugli stati nello spazio di Hilbert trasformando un ket in un altro ket:
\[
\hat{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle
\]
Il valore atteso di un osservabile associato all'operatore \( \hat{A} \) nello stato \( |\psi\rangle \) è:
\[
\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle
\]
Rappresentazioni: coordinate e impulsi
La rappresentazione nelle coordinate è data da:
\[
\psi(x) = \langle x|\psi\rangle
\]
mentre la rappresentazione nello spazio degli impulsi è:
\[
\psi(p) = \langle p|\psi\rangle
\]
Le due rappresentazioni sono legate attraverso la trasformata di Fourier.
Trasformazioni unitarie
Gli operatori unitari preservano la norma dei vettori e rappresentano simmetrie dello spazio di Hilbert. Un esempio fondamentale è l'evoluzione temporale, descritta dall'operatore di evoluzione temporale \( \hat{U}(t) \):
\[
\hat{U}(t) = e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}
\]
dove \( \hat{H} \) è l'hamiltoniano del sistema.
Simmetrie e leggi di conservazione
Le simmetrie di un sistema sono associate a leggi di conservazione. Secondo il teorema di Noether:
- La simmetria delle traslazioni genera la conservazione della quantità di moto.
- La simmetria delle rotazioni genera la conservazione del momento angolare.
Gli operatori associati a queste quantità conservate sono:
\[
\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}, \quad \hat{L} = \vec{r} \times \hat{p}
\]
Oscillatore armonico con metodi operatoriali
Nell'oscillatore armonico quantistico, gli operatori di creazione \( \hat{a}^\dagger \) e annichilazione \( \hat{a} \) soddisfano le relazioni di commutazione:
\[
[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1
\]
L'energia degli stati stazionari è data da:
\[
E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right)
\]
dove \( n \) è un numero quantico intero non negativo.
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