Onde Piane e Pacchetti d’Onde
Onde piane
Un'onda piana è una soluzione dell'equazione d'onda che rappresenta un'onda monocromatica, con una singola frequenza e lunghezza d'onda.
La funzione d'onda di un'onda piana può essere scritta come:
\[
\psi(x, t) = A e^{i(kx - \omega t)}
\]
Qui:
- \( A \): Ampiezza dell'onda
- \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \): Numero d'onda
- \( \omega = 2\pi \nu \): Frequenza angolare
Questa rappresentazione descrive un'onda ideale con energia e momento ben definiti, ma non localizzata nello spazio.
Pacchetti d’onde
Per rappresentare particelle materiali come elettroni, la semplice onda piana non è sufficiente, poiché non descrive una particella localizzata.
Si utilizza invece un pacchetto d’onde, che è una sovrapposizione di onde piane:
\[
\psi(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} A(k) e^{i(kx - \omega t)} \, dk
\]
Qui, \( A(k) \) rappresenta la distribuzione spettrale del numero d’onda \( k \). La larghezza del pacchetto è inversamente proporzionale
alla larghezza della distribuzione \( \Delta k \), in accordo con il principio di indeterminazione:
\[
\Delta x \cdot \Delta k \geq \frac{1}{2}
\]
Velocità di gruppo e velocità di fase
Per un pacchetto d’onde, si distinguono due tipi di velocità:
- Velocità di fase: La velocità con cui si propaga una singola onda piana, definita come \( v_p = \frac{\omega}{k} \).
- Velocità di gruppo: La velocità con cui si propaga l'energia o l'informazione associata al pacchetto d’onde, definita come
\( v_g = \frac{d\omega}{dk} \).
Interferenza e localizzazione
Un pacchetto d’onde è il risultato di interferenze costruttive e distruttive tra onde piane con diverse lunghezze d’onda.
Questa interferenza porta alla formazione di una regione localizzata in cui la probabilità di trovare la particella è massima, descritta da \( |\psi(x, t)|^2 \).
Significato fisico
La rappresentazione tramite pacchetti d’onde è fondamentale nella meccanica quantistica. Essa lega il comportamento ondulatorio e corpuscolare,
consentendo di descrivere particelle con momento e posizione non perfettamente definiti, ma coerenti con il principio di indeterminazione di Heisenberg.
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