Oscillatore Armonico Tridimensionale

Descrizione generale

L'oscillatore armonico tridimensionale è un'estensione dell'oscillatore armonico unidimensionale. Il potenziale è dato da:
\[ V(x, y, z) = \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2 + y^2 + z^2) \]
Questo sistema descrive una particella soggetta a un potenziale armonico isotropo in tre dimensioni.

Equazione di Schrödinger

L'equazione di Schrödinger stazionaria è:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(x, y, z) \psi = E \psi \]
Con il potenziale \( V(x, y, z) \), l'equazione diventa:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2 + y^2 + z^2) \psi = E \psi \]

Separazione delle variabili

Per risolvere l'equazione, si utilizza il metodo della separazione delle variabili, scrivendo la funzione d'onda come:
\[ \psi(x, y, z) = \psi_x(x) \psi_y(y) \psi_z(z) \]
Inserendo questa forma nell'equazione di Schrödinger, si ottengono tre equazioni differenziali indipendenti per \( \psi_x(x) \), \( \psi_y(y) \) e \( \psi_z(z) \), ciascuna delle quali corrisponde all'oscillatore armonico unidimensionale.

Soluzioni

Le soluzioni sono date in termini di funzioni di Hermite:
\[ \psi_n(x) = \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n(\sqrt{\alpha} x) e^{-\frac{\alpha x^2}{2}} \]
dove:

Energia

L'energia totale del sistema è:
\[ E_{n_x, n_y, n_z} = \hbar \omega \left( n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} \right) \]
dove \( n_x, n_y, n_z \) sono i numeri quantici associati alle tre direzioni.

Osservazioni

Calcolo della separazione delle variabili

Inserendo la funzione d'onda separata \( \psi(x, y, z) = \psi_x(x) \psi_y(y) \psi_z(z) \) nell'equazione di Schrödinger tridimensionale, si ottiene:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \psi_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi_z}{\partial z^2} \right) + \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2 + y^2 + z^2) \psi_x \psi_y \psi_z = E \psi_x \psi_y \psi_z \]
Dividendo per \( \psi_x \psi_y \psi_z \), l'equazione si separa in tre componenti indipendenti:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\frac{\partial^2 \psi_x}{\partial x^2}}{\psi_x} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\frac{\partial^2 \psi_y}{\partial y^2}}{\psi_y} + \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\frac{\partial^2 \psi_z}{\partial z^2}}{\psi_z} + \frac{1}{2} m \omega^2 z^2 = E \]
Ciascuna delle equazioni rappresenta un oscillatore armonico unidimensionale lungo le coordinate \(x\), \(y\) e \(z\).

Risoluzione delle equazioni unidimensionali

L'equazione differenziale unidimensionale per \( \psi_x(x) \) è:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_x}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi_x = E_x \psi_x \]
Questa equazione ha soluzioni in termini delle funzioni di Hermite \( H_n(x) \), definite da:
\[ \psi_n(x) = \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n(\sqrt{\alpha} x) e^{-\frac{\alpha x^2}{2}} \]
dove \( \alpha = \frac{m \omega}{\hbar} \) e \( n \) è il numero quantico.

Energia totale del sistema

L'energia totale del sistema tridimensionale è data dalla somma delle energie associate alle tre coordinate:
\[ E_{n_x, n_y, n_z} = \hbar \omega \left( n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} \right) \]
Qui, \( n_x, n_y, n_z \) sono i numeri quantici associati ai moti lungo \(x\), \(y\) e \(z\).

Densità di probabilità

La densità di probabilità è definita come il modulo quadro della funzione d'onda:
\[ |\psi(x, y, z)|^2 = |\psi_x(x)|^2 |\psi_y(y)|^2 |\psi_z(z)|^2 \]
Ogni componente \( |\psi_x(x)|^2 \), \( |\psi_y(y)|^2 \), \( |\psi_z(z)|^2 \) rappresenta la probabilità di trovare la particella in una determinata regione dello spazio lungo quella direzione.

Osservazioni conclusive

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