Oscillatore Armonico in Tre Dimensioni

L’oscillatore armonico tridimensionale è uno dei problemi fondamentali della meccanica quantistica. Fornisce un esempio di sistema con simmetria isotropa, in cui il potenziale è:

\[ V(\mathbf{r}) = \frac{1}{2}m\omega^2 r^2, \] dove \(r = |\mathbf{r}|\) è la distanza dall’origine. Essendo isotropo, il potenziale dipende solo dalla distanza e non dalla direzione, il che permette di sfruttare le coordinate sferiche e le proprietà del momento angolare.

Hamiltoniano e Separazione delle Variabili

L’Hamiltoniano dell’oscillatore armonico 3D è:

\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2. \] La simmetria sferica suggerisce di utilizzare coordinate sferiche \((r,\theta,\phi)\). Operando in queste coordinate, il Laplaciano si scrive come:

\[ \nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) - \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2 r^2}, \] dove \(\hat{L}^2\) è l’operatore del momento angolare quadrato. Poiché il potenziale dipende solo da \(r\), si può separare la funzione d’onda come:

\[ \psi(r,\theta,\phi) = R(r) Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi), \] dove \(Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)\) sono le armoniche sferiche, autostati di \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\).

Equazione Radiale

Inserendo la separazione in \(\hat{H}\psi = E\psi\) si ottiene un’equazione radiale per \(R(r)\). Definendo \(\ell(\ell+1)\hbar^2\) come autovalore di \(\hat{L}^2\), l’equazione radiale diviene:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2}R\right] + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 R = E R. \] Per semplificare, spesso si introduce una funzione radiale modificata \(u(r)=rR(r)\). L’equazione per \(u(r)\) diventa:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2} + \left(\frac{1}{2}m\omega^2 r^2 + \frac{\hbar^2 \ell(\ell+1)}{2m r^2}\right)u = E u. \] Questa somiglia all’equazione di un oscillatore armonico “effettivo” in una dimensione, ma con una barriera centrifuga \(\frac{\hbar^2 \ell(\ell+1)}{2m r^2}\).

Livelli Energetici e Funzioni d’Onda

La soluzione analitica mostra che gli autovalori di energia sono:

\[ E_{n,\ell} = \hbar \omega \left(2n + \ell + \frac{3}{2}\right), \] dove \(n=0,1,2,\dots\) e \(\ell=0,1,2,\dots\). Qui \(n\) è il numero quantico radiale (che conta i nodi radiali) e \(\ell\) è il numero quantico angolare. Ciò significa che l’energia dipende dalla somma \(2n+\ell\), con una degenerazione maggiore rispetto all’oscillatore 1D.

Le funzioni radiali \(R_{n,\ell}(r)\) sono costituite da polinomi associati (i polinomi di Laguerre generalizzati) moltiplicati da un fattore gaussiano \(\exp(-m\omega r^2/(2\hbar))\). La parte angolare è data dalle armoniche sferiche \(Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)\), come per qualsiasi sistema a simmetria sferica.

Degenerazione e Simmetrie

L’oscillatore armonico tridimensionale presenta una degenerazione energetica caratteristica: stati con lo stesso valore di \(n_{\text{tot}}=2n+\ell\) hanno la stessa energia. Questa elevata degenerazione è legata alla simmetria completa del potenziale sfericamente armonico e può essere interpretata in termini di un gruppo di simmetria più grande, l’algebra del gruppo O(4) o SU(3), a seconda del formalismo scelto.

Alla Lavagna

1. Parti dall’Hamiltoniano: \[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2. \]

2. Passa a coordinate sferiche e separa la parte angolare da quella radiale, usando: \[ \psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi). \] 3. Ottieni l’equazione radiale per \(u(r)=rR(r)\).

4. Identifica i livelli energetici: \[ E_{n,\ell} = \hbar\omega\left(2n+\ell+\frac{3}{2}\right). \]

5. Disegna qualitativamente la funzione d’onda radiale per i primi livelli, mostrando il fattore gaussiano e i nodi radiali.

Importanza Fisica

L’oscillatore armonico in 3D è un modello fondamentale per comprendere stati legati isotropi, approssimare potenziali attorno a minimi, e serve come base per sviluppi perturbativi. Inoltre, il suo schema di livelli energetici e la sua algebra di simmetria forniscono spunti nell’analisi di sistemi più complessi, come atomi o nuclei, dove l’interazione può essere approssimata localmente come armonica.

Passaggio all’equazione radiale e soluzioni analitiche

Dall’equazione dell’oscillatore armonico tridimensionale, una volta separata la parte angolare con le armoniche sferiche \(Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)\), resta un’equazione puramente radiale per la funzione \(R(r)\). Impostando \(u(r)=rR(r)\), questa funzione radiale modificata soddisfa un’equazione in una dimensione efficace, che contiene il potenziale armonico e il termine centrifugo legato a \(\ell(\ell+1)\):

In dettaglio, partendo da \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{\hbar^2 \ell(\ell+1)}{2m r^2}R + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 R = ER, \] definire \(u(r)=r R(r)\) consente di eliminare il termine con la derivata prima legata a \(r^2\). Dopo questa sostituzione, l’operatore in \(R\) si trasforma in un operatore differenziale in \(u(r)\) più semplice da gestire. Con questa manovra, l’equazione diventa \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u}{dr^2} + \left(\frac{1}{2}m\omega^2 r^2 + \frac{\hbar^2 \ell(\ell+1)}{2m r^2}\right)u = E u. \]

Sebbene questa equazione ricordi l’oscillatore armonico unidimensionale, è resa più complessa dal termine centrifugo \(\frac{\hbar^2 \ell(\ell+1)}{2m r^2}\). Usando variabili adimensionali, si introducono tipicamente una lunghezza caratteristica \(\alpha = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\). In termini di \(\rho = r/\alpha\), l’equazione si normalizza e diviene più maneggevole. Inoltre, il fattore gaussiano e le funzioni di Laguerre generalizzate emergono naturalmente come soluzioni analitiche.

Quantizzazione dell’energia e degenerazione

I livelli energetici dell’oscillatore armonico 3D sono quantizzati come \[ E_{n,\ell} = \hbar\omega \left(2n+\ell+\tfrac{3}{2}\right), \] dove \(n=0,1,2,\dots\) è il numero quantico radiale, e \(\ell=0,1,2,\dots\) è il numero quantico angolare. A parità di \(2n+\ell\), l’energia è la stessa, implicando una degenerazione più ampia rispetto all’oscillatore in una dimensione. Questo aspetto non è soltanto un dettaglio matematico, ma influisce sulla struttura degli stati quantistici possibili: la presenza di degenerazione consente di combinare le autofunzioni degeneri per formare stati con simmetrie particolari, utili ad esempio per modellare sistemi fisici con isotropia o con interazioni perturbative di forma semplice.

I livelli energetici possono essere visualizzati come una torre di stati, ciascuno caratterizzato da combinazioni di \(n\) e \(\ell\) che danno lo stesso valore di \(2n+\ell\). Questo organizza gli stati in "shell" di energia crescente, analogamente a come i livelli dell’atomo idrogeno sono organizzati in gusci elettronici, ma con una struttura diversa dovuta alla forma parabolica del potenziale.

Funzioni d’onda e struttura delle soluzioni radiali

Le soluzioni radiali \(R_{n,\ell}(r)\) includono un fattore gaussiano \(\exp(-\rho^2/2)\), dove \(\rho=r/\alpha\), e un polinomio di Laguerre generalizzato \(L_{n}^{\ell+1/2}(\rho^2)\). Il comportamento a breve distanza (per \(r \to 0\)) è dominato dal termine \(\ell(\ell+1)\), mentre per grandi \(r\) la funzione d’onda è soppressa esponenzialmente dal fattore gaussiano. Di conseguenza, gli stati sono localizzati attorno all’origine, caratteristica tipica dell’oscillatore armonico.

Alla lavagna, si potrebbe:

Così l’oscillatore armonico tridimensionale si configura come un esempio didatticamente ricco: un sistema con simmetria totale, potenziale parabolico isotropo, soluzioni notevoli in termini di funzioni speciali, degenerazioni con interpretazioni geometriche e simmetriche, e uno schema di livelli energetici che ben si presta allo studio di proprietà quantistiche fondamentali come gli autostati di energia, la sovrapposizione di stati degeneri e le simmetrie dinamiche del sistema.

Ritorna all'Indice