Oscillatore Armonico

Descrizione del sistema

L'oscillatore armonico è uno dei sistemi fondamentali in fisica teorica, con applicazioni che spaziano dalla meccanica classica alla meccanica quantistica. Il potenziale che descrive il sistema è dato da:

\[ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \]

dove \( m \) è la massa della particella, \( \omega \) è la frequenza angolare, e \( x \) è la posizione.

Equazione di Schrödinger

L'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico unidimensionale è:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi(x) = E \psi(x) \]

Le soluzioni di questa equazione forniscono gli autovalori di energia e le funzioni d'onda associate.

Soluzioni

Gli autovalori di energia sono quantizzati e dati da:

\[ E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \quad n = 0, 1, 2, \ldots \]

Le funzioni d'onda associate sono espresse come:

\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n n!}} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m \omega x^2}{2 \hbar}} H_n\left(\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x\right) \]

dove \( H_n(x) \) sono i polinomi di Hermite.

Proprietà delle soluzioni

Gli stati \( n = 0, 1, 2, \ldots \) sono chiamati stati stazionari o autostati.
L'energia del sistema è quantizzata, con il livello fondamentale a \( E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega \).
Le funzioni d'onda sono ortogonali e normalizzate, soddisfacendo:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_n^*(x) \psi_m(x) dx = \delta_{nm} \]

Significato fisico

L'oscillatore armonico quantistico rappresenta un modello ideale per comprendere le vibrazioni molecolari, i fononi nei solidi e il comportamento delle particelle nei potenziali quadrati. La quantizzazione dell'energia è una delle manifestazioni fondamentali della meccanica quantistica. Ritorna all'Indice