Oscillatore Armonico con Metodi Operatoriali

Definizione e Hamiltoniana

L'oscillatore armonico quantistico è uno dei sistemi più studiati in meccanica quantistica per la sua semplicità e per il ruolo fondamentale nelle applicazioni teoriche. L'Hamiltoniana è data da:
\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2 \]
dove \( \hat{x} \) e \( \hat{p} \) sono rispettivamente gli operatori posizione e quantità di moto, \( m \) è la massa e \( \omega \) è la frequenza angolare.

Operatori di Creazione e Annichilazione

Introducendo gli operatori di creazione \( \hat{a}^\dagger \) [dagger, coniugata trasposta] e di annichilazione \( \hat{a} \), definiti come:
\[ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + i\frac{\hat{p}}{m\omega}\right), \quad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} - i\frac{\hat{p}}{m\omega}\right) \]
l'Hamiltoniana si riscrive in termini di questi operatori:
\[ \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}\right) \]

Relazioni di Commutazione

Gli operatori \( \hat{a} \) e \( \hat{a}^\dagger \) soddisfano le seguenti relazioni di commutazione:
\[ [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 \]
Queste relazioni sono fondamentali per la costruzione degli stati quantistici del sistema.

Stati e Energie

Gli stati propri dell'Hamiltoniana sono indicati come \( |n\rangle \), dove \( n \) è un numero quantico intero non negativo (\( n = 0, 1, 2, \ldots \)). Gli stati sono costruiti a partire dallo stato fondamentale \( |0\rangle \):
\[ |n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0\rangle \]
L'energia associata agli stati è:
\[ E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right) \]

Osservabili e Dinamica

Gli operatori posizione e quantità di moto in termini di \( \hat{a} \) e \( \hat{a}^\dagger \) sono:
\[ \hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat{a} + \hat{a}^\dagger), \quad \hat{p} = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(\hat{a} - \hat{a}^\dagger) \]
L'evoluzione temporale degli operatori segue le equazioni di Heisenberg:
\[ \frac{d\hat{a}}{dt} = -i\omega \hat{a}, \quad \frac{d\hat{a}^\dagger}{dt} = i\omega \hat{a}^\dagger \]

Significato e Applicazioni

L'oscillatore armonico quantistico è una base teorica per molteplici sistemi fisici, tra cui: Ritorna all'Indice