Oscillatore Armonico: Approccio Operatoriale

L'oscillatore armonico quantistico è un sistema paradigmatico nello studio della meccanica quantistica. L'approccio operatoriale, basato sugli operatori di creazione e distruzione (o salita e discesa), semplifica notevolmente il problema. Questo metodo mostra come i livelli energetici siano quantizzati e fornisce una base per comprendere sistemi più complessi.

L’Hamiltoniano dell’oscillatore armonico unidimensionale è:

\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2. \]

Definiamo gli operatori di annichilazione \(\hat{a}\) e creazione \(\hat{a}^\dagger\) come:

\[ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right), \quad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} - \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right). \] Questi operatori soddisfano la commutazione \([\hat{a},\hat{a}^\dagger] = 1.\)

Hamiltoniano in termini di \(\hat{a}\) e \(\hat{a}^\dagger\)

Riscrivendo l’Hamiltoniano in funzione di \(\hat{a}\) e \(\hat{a}^\dagger\), si ottiene:

\[ \hat{H} = \hbar \omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right). \] Questo mostra chiaramente che gli autovalori dell’energia sono:

\[ E_n = \hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right), \quad n=0,1,2,\dots \]

I corrispondenti autostati \(|n\rangle\) (autofunzioni dell’Hamiltoniano) si costruiscono applicando \(\hat{a}^\dagger\) ripetutamente allo stato fondamentale \(|0\rangle\), definito come l’unico stato che annulla l’operatore di annichilazione: \(\hat{a}|0\rangle=0.\)

Operatori e Postulati della Meccanica Quantistica

I postulati della meccanica quantistica stabiliscono che agli osservabili fisici corrispondono operatori hermitiani. L’energia è associata all’Hamiltoniano \(\hat{H}\), la posizione e l’impulso a \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\). L’approccio operatoriale dell’oscillatore armonico è perfettamente in linea con questi postulati, mostrando come la quantizzazione dei livelli energetici emerga dalla struttura algebraica degli operatori.

Osservabili Compatibili e Degenerazione

Per l’oscillatore armonico unidimensionale, lo spettro non è degenere: ogni livello energetico corrisponde a un unico stato \(|n\rangle\). Questo significa che l’energia e altri osservabili, come la parità, non generano complicazioni di degenerazione. In presenza di degenerazione, occorrerebbe considerare anche gli operatori che commutano con l’Hamiltoniano e formare basi proprie di tutti gli osservabili compatibili. Nel caso dell’oscillatore armonico monodimensionale, questa problematica non si pone, semplificando l’analisi.

Relazione di Indeterminazione e Stato a Indeterminazione Minima

Le commutazioni degli operatori \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\) impongono la relazione di indeterminazione di Heisenberg:

\[ \sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}. \]

Lo stato fondamentale dell’oscillatore armonico \(|0\rangle\) è uno stato a indeterminazione minima, in cui questa disuguaglianza è saturata. In \(|0\rangle\), le fluttuazioni di \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\) sono tali da rendere il prodotto \(\sigma_x \sigma_p = \hbar/2\). Questo stato fornisce un esempio concreto di come i limiti di Heisenberg non siano solo un vincolo teorico, ma possano essere raggiunti da sistemi quantistici ben definiti.

Alla Lavagna

1. Scrivi l’Hamiltoniano: \[ \hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2. \]

2. Definisci \(\hat{a}\) e \(\hat{a}^\dagger\): \[ \hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right), \quad \hat{a}^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right). \]

3. Mostra la commutazione \([\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1\) e riscrivi \(\hat{H}=\hbar\omega(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\tfrac{1}{2})\).

4. Deduci gli autovalori: \(E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)\).

5. Sottolinea che \(|n\rangle=(\hat{a}^\dagger)^n|0\rangle/\sqrt{n!}\), con \(|0\rangle\) definito da \(\hat{a}|0\rangle=0\).

6. Relazione di indeterminazione: \(\sigma_x \sigma_p \geq \hbar/2\). Lo stato fondamentale \(|0\rangle\) satura questa relazione, essendo uno stato a minima indeterminazione.

Significato Fisico

Il formalismo operatoriale dell’oscillatore armonico dimostra come la struttura algebrica della meccanica quantistica, legata ai postulati fondamentali e alla commutazione degli operatori, porti naturalmente alla quantizzazione dell’energia. L’assenza di degenerazione semplifica la questione degli osservabili compatibili, e la raggiungibilità dello stato di indeterminazione minima fornisce un esempio tangibile del principio di indeterminazione di Heisenberg. In questo quadro, l’oscillatore armonico diventa un modello di riferimento per comprendere molti aspetti fondamentali della teoria quantistica.

Analisi dettagliata dei passaggi operatoriali

Considerando il passaggio dall’operatore Hamiltoniano classico dell’oscillatore armonico, \( H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \), all’approccio quantistico operatoriale, si era definito l’operatore di annichilazione \(\hat{a}\) e quello di creazione \(\hat{a}^\dagger\). Il cuore del procedimento sta nell’introduzione di una scala di lunghezza e una di impulso, tali da rendere la combinazione lineare \( \hat{x} \pm i\frac{\hat{p}}{m\omega} \) adimensionale. Questo è possibile poiché \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\) non commutano, ma commutano con delle costanti appropriate e l’obiettivo è cercare una base in cui l’azione di \(\hat{H}\) sia resa semplice come quella di un contatore di quanta.

L’insieme \(\{|n\rangle\}_{n=0}^{\infty}\), costruito partendo dallo stato fondamentale \(|0\rangle\) attraverso l’azione ripetuta di \(\hat{a}^\dagger\), viene a costituire una *base completa* dello spazio degli stati per l’oscillatore armonico. Ogni \(|n\rangle\) è proporzionale a \((\hat{a}^\dagger)^n |0\rangle\), con un fattore di normalizzazione \(\sqrt{1/n!}\) che deriva dalla commutazione \([\hat{a},\hat{a}^\dagger] = 1\) e dal fatto che \(\hat{a}|0\rangle=0\).

Dal punto di vista geometrico nello spazio di Hilbert, i vettori \(|n\rangle\) sono ortonormali: \[ \langle m|n\rangle = \delta_{mn}. \] Questo implica che se si scrive uno stato generico \(|\psi\rangle\) come: \[ |\psi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle, \] i coefficienti \(c_n = \langle n|\psi\rangle\) sono semplicemente le componenti del vettore \(|\psi\rangle\) nella base degli autostati dell’oscillatore. Il modulo quadro \(|c_n|^2\) rappresenta la probabilità di trovarsi nel livello energetico \(n\), rivelando una struttura quantistica intrinseca.

Sulla lavagna: ulteriori dettagli e manipolazioni

- Prendi il commutatore base: \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\). - Definisci: \[ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right). \] Scrivilo come: \[ \hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(m\omega \hat{x} + i\hat{p}). \] - Verifica che \([\hat{a},\hat{a}^\dagger] = 1\), usando \([\hat{x},\hat{p}] = i\hbar\). - Dall’Hamiltoniano: \[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2. \] Sostituisci \(\hat{p} = \frac{-i\hbar}{m}\frac{d}{dx}\) in rappresentazione di posizione, se vuoi vedere come il formalismo tradizionale incontra quello operatoriale. Ma nella forma operatoriale pura, si ha: \[ \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right). \] - Lo stato fondamentale \(|0\rangle\) è definito da \(\hat{a}|0\rangle=0\). Crea \(|1\rangle = \hat{a}^\dagger|0\rangle\) e normalizzalo: \[ |1\rangle = \frac{\hat{a}^\dagger}{\sqrt{1}}|0\rangle, \] poi \(|2\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^2}{\sqrt{2!}}|0\rangle\), e così via. - Nota che \(\hat{a}\hat{a}^\dagger - \hat{a}^\dagger \hat{a} = 1\) suggerisce un’algebra semplice, analoga a quella dei ladder operator nel caso dell’oscillatore armonico classico, ma discretamente quantizzata in unità di \(\hbar\omega\).

Osservazione su indeterminazione e stato fondamentale

Nel livello base \(|0\rangle\), la distribuzione della posizione e dell’impulso è gaussiana, con uno spread che satura la disuguaglianza di indeterminazione. Non è un caso: la forma della funzione d’onda del ground state in coordinate di posizione è una gaussiana a minimo prodotto di incertezze. Questo risultato emerge naturalmente dall’approccio operatoriale, in cui \(|0\rangle\) minimizza l’energia e risulta anche lo stato con la più piccola incertezza congiunta di \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\).

Fissare l’attenzione su questi aspetti significa toccare con mano l’essenza quantistica: i livelli quantizzati di energia, l’assenza di degenerazione nella forma unidimensionale, e la possibilità di studiare i limiti fondamentali dell’indeterminazione che Heisenberg aveva posto come principio generale.

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