In meccanica quantistica, due osservabili rappresentati da operatori hermitiani \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\) sono detti compatibili se possono essere misurati simultaneamente con precisione arbitraria. Il criterio formale per la compatibilità è la commutazione degli operatori:
\[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} = 0. \] Se \([\hat{A}, \hat{B}]=0\), esiste un insieme completo di autofunzioni comuni a \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\). Questo implica che l’osservazione di \(\hat{A}\) non altera i risultati prevedibili di \(\hat{B}\), e viceversa.Quando due operatori commutano, si possono trovare autofunzioni comuni. Ad esempio, se \(\hat{A}\phi = a\phi\) e \(\hat{B}\phi = b\phi\), la funzione d’onda \(\phi(\mathbf{r})\) è un autostato simultaneo di \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\). In tal caso, conoscere il valore di uno degli osservabili non impedisce la conoscenza dell’altro. Questa è la situazione “ideale” per misurare due grandezze simultaneamente.
Se lo spettro di uno degli operatori, ad esempio \(\hat{A}\), è non degenere, ogni autovalore corrisponde a una singola autofunzione (a meno di un fattore di fase). In questo caso, se \([\hat{A}, \hat{B}]=0\), \(\hat{B}\) deve lasciare inalterati questi autostati, cioè \(\hat{B}\phi_a = b\phi_a\) per qualche \(b\). Questo garantisce univocamente una base di autostati comuni. La conoscenza di \(A\) fissa completamente lo stato nella base degli autostati di \(\hat{B}\).
Se \(\hat{A}\) ha un autovalore \(a\) degenerato, cioè esiste un sottospazio di dimensione maggiore di uno degli stati con lo stesso valore di \(a\), le autofunzioni associate ad \(a\) non sono uniche. In questo sottospazio, \(\hat{B}\) può ancora essere diagonalizzato (poiché commuta con \(\hat{A}\)) per selezionare una base di autofunzioni comuni. In altre parole, la degenerazione crea una “libertà” di scelta nella base degli autostati di \(\hat{A}\), e \(\hat{B}\) fornisce un criterio per scegliere una base privilegiata che diagonalizza entrambi gli operatori. Questo processo, detto “diagonalizzazione simultanea”, permette di costruire una base di autostati comuni anche in caso di degenerazione.
La commutazione di due osservabili e la conseguente esistenza di autofunzioni comuni implicano la possibilità di conoscere simultaneamente i valori dei due osservabili senza indeterminazioni legate al principio di indeterminazione. Ad esempio, \(\hat{L}^2\) e \(\hat{L}_z\) per il momento angolare commutano, e per questo è possibile specificare simultaneamente il modulo quadro del momento angolare e la sua componente z.
Se c’è degenerazione, l’esistenza di un altro osservabile compatibile (aggiuntivo) permette di eliminare l’ambiguità nella scelta della base nel sottospazio degenere. Questo è spesso sfruttato in fisica atomica, dove la conoscenza del momento angolare totale e della sua componente z non è sufficiente a distinguere tutti gli stati, ma ulteriori osservabili (come l’equazione per lo spin o altri operatori di simmetria) servono a classificare completamente gli stati.
Consideriamo due osservabili rappresentati da operatori hermitiani \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\). Supponiamo \([\hat{A}, \hat{B}] = 0\). Vogliamo capire meglio, dal punto di vista matematico, come avviene la costruzione di una base di autofunzioni comuni, in particolare quando si presenta il caso della degenerazione.
Caso non degenere: Se lo spettro di \(\hat{A}\) è semplice, cioè ogni autovalore \(a\) ha molteplicità uno, allora per ciascuna autofunzione \(\phi_a(\mathbf{r})\) con \(\hat{A}\phi_a = a\phi_a\), consideriamo l’azione di \(\hat{B}\). Poiché \(\hat{B}\) commuta con \(\hat{A}\), il sottospazio generato da \(\phi_a\) è stabile sotto l’azione di \(\hat{B}\). Ma tale sottospazio è unidimensionale, quindi \(\hat{B}\phi_a = b(a)\phi_a\) per un qualche valore \(b(a)\). Ne segue immediatamente che \(\phi_a\) è anche un autostato di \(\hat{B}\) con autovalore \(b(a)\). In questo scenario, non c’è ambiguità: ogni autostato di \(\hat{A}\) è anche autostato di \(\hat{B}\).
Caso degenere: Se per un autovalore \(a\) di \(\hat{A}\) esiste un sottospazio di dimensione \(g>1\), significa che vi sono \(g\) autofunzioni linearmente indipendenti \(\{\phi_{a,1}, \phi_{a,2}, ... \phi_{a,g}\}\) tali che \(\hat{A}\phi_{a,i} = a \phi_{a,i}\) per \(i=1,\dots,g\). Queste autofunzioni non sono uniche poiché qualunque combinazione lineare di esse è ancora un autostato con la stessa energia \(a\). In presenza di degenerazione, \(\hat{B}\) agisce su questo sottospazio lasciandolo stabile (poiché commuta con \(\hat{A}\), non può connettere autostati con autovalori diversi di \(\hat{A}\)). Possiamo dunque restringere \(\hat{B}\) al sottospazio degenerato di \(\hat{A}\). All’interno di questo sottospazio, \(\hat{B}\) è un operatore hermitiano su uno spazio di dimensione finita \(g\). Un risultato fondamentale dell’algebra lineare è che un operatore hermitiano su uno spazio finito-dimensionale può essere diagonalizzato da una base ortonormale. Questo implica che possiamo scegliere una combinazione lineare delle \(\phi_{a,i}\) in modo da ottenere nuove funzioni \(\tilde{\phi}_{a,j}\) che diagonalizzano \(\hat{B}\) all’interno del sottospazio con energia \(a\). In breve, la degenerazione offre libertà di scelta, ma l’esistenza di \(\hat{B}\) compatibile ne fissa una base “naturale” di autostati comuni \(\{\tilde{\phi}_{a,1}, ... \tilde{\phi}_{a,g}\}\) con:
\[ \hat{A}\tilde{\phi}_{a,j} = a \tilde{\phi}_{a,j}, \quad \hat{B}\tilde{\phi}_{a,j} = b_{j}\tilde{\phi}_{a,j}. \]
Così, anche in presenza di degenerazione, si raggiunge un ordinamento simultaneo: i due operatori, grazie alla commutazione, consentono di costruire una base di autostati comuni ben definita. Questo processo è simile al scegliere un asse “preferito” in un sottospazio degenerato, asse individuato da \(\hat{B}\).
Punto chiave: La commutazione \([\hat{A}, \hat{B}] = 0\) garantisce stabilità dei sottospazi degenerate di \(\hat{A}\) rispetto all’azione di \(\hat{B}\). Questo evita che \(\hat{B}\) mescoli livelli energetici diversi, limitandosi ad agire come un operatore interno a ogni sottospazio degenerato. La conseguenza è che in ogni sottospazio degenerato di \(\hat{A}\) si può diagonalizzare \(\hat{B}\), ottenendo autostati comuni. Nel caso non degenere, questa procedura è triviale, mentre nel caso degenere è l’elemento risolutore per definire stati quantistici con proprietà ben definite per entrambi gli osservabili.
Geometricamente si può pensare a uno scenario in cui \(\hat{A}\) definisce “strati” di energia; se uno strato presenta degenerazione, all’interno di esso \(\hat{B}\) crea una struttura più fine, dividendo o caratterizzando ulteriormente lo spazio degli autostati. La scelta della base diviene così unica (a meno di degenerazioni residue), assicurando una descrizione coerente del sistema.
A livello fisico, individuare osservabili compatibili è spesso essenziale per classificare gli stati di un sistema, ad esempio per il momento angolare, spin e altre grandezze quantiche che permettono di etichettare gli stati in modo preciso. Se un osservabile rimuove la degenerazione introdotta da un altro, esso fornisce nuovi numeri quantici che distinguono nettamente gli stati degeneri e consentono misure simultanee, senza interferenze o incertezze aggiuntive.
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