Pacchetto Gaussiano

Definizione

Il pacchetto gaussiano è una soluzione importante delle equazioni d'onda, particolarmente rilevante in meccanica quantistica per descrivere una particella localizzata nello spazio. La funzione d'onda associata a un pacchetto gaussiano in una dimensione è data da:

\[ \psi(x, t) = A e^{-\frac{(x - x_0)^2}{4\sigma^2}} e^{i(k_0 x - \omega_0 t)} \]

dove:

\( A \): costante di normalizzazione
\( \sigma \): larghezza del pacchetto
\( x_0 \): posizione centrale
\( k_0 \): numero d'onda medio
\( \omega_0 \): frequenza angolare media

Proprietà del pacchetto gaussiano

Localizzazione: La funzione \( \psi(x, t) \) è ben localizzata nello spazio, con una larghezza spaziale proporzionale a \( \sigma \).
Dualità: La trasformata di Fourier del pacchetto gaussiano nel dominio dei numeri d'onda (\( k \)) è anch'essa una gaussiana.
Relazione incertezza: Il prodotto delle incertezze spaziale e di impulso soddisfa:
\[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

Trasformata di Fourier

La rappresentazione del pacchetto gaussiano nel dominio dei numeri d'onda è data da:

\[ \phi(k) = \sqrt{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{\sigma^2 (k - k_0)^2}{2}} \]

Questo dimostra che una particella descritta da un pacchetto gaussiano ha una distribuzione di impulsi ben definita.

Propagazione temporale

In assenza di potenziale (\( V = 0 \)), il pacchetto gaussiano si propaga mantenendo la sua forma gaussiana. Tuttavia, la larghezza del pacchetto aumenta nel tempo a causa della dispersione:

\[ \sigma(t) = \sigma_0 \sqrt{1 + \frac{\hbar^2 t^2}{4m^2 \sigma_0^4}} \]

dove \( \sigma_0 \) è la larghezza iniziale del pacchetto e \( m \) è la massa della particella.

Importanza fisica

Il pacchetto gaussiano fornisce un modello fondamentale per descrivere particelle quantistiche localizzate. La sua rappresentazione simultanea in spazio e impulso illustra chiaramente il principio di indeterminazione di Heisenberg. Ritorna all'Indice