Parità
Definizione
La parità di una funzione \( \psi(x) \) indica la sua simmetria rispetto all'inversione del segno della coordinata spaziale \( x \):
\[
\psi(-x) = \pm \psi(x)
\]
Una funzione con parità positiva (\( + \)) è detta pari, mentre una funzione con parità negativa (\( - \)) è detta dispari.
Operatori e parità
La parità è associata all'operatore di inversione spaziale \( \hat{P} \), definito come:
\[
\hat{P} \psi(x) = \psi(-x)
\]
L'autofunzione di \( \hat{P} \) ha un autovalore \( \pm 1 \), corrispondente a parità pari o dispari:
\[
\hat{P} \psi(x) = \pm \psi(x)
\]
Applicazioni in meccanica quantistica
La parità è una proprietà importante in molti problemi di meccanica quantistica:
- Nel caso di un potenziale simmetrico \( V(x) = V(-x) \), le soluzioni dell'equazione di Schrödinger possono essere scelte come pari o dispari.
- L'operatore momento \( \hat{p} = -i \hbar \frac{d}{dx} \) cambia segno sotto inversione spaziale:
\[
\hat{P} \hat{p} \hat{P}^{-1} = -\hat{p}
\]
- Gli stati legati in potenziali simmetrici, come la buca di potenziale infinita, mostrano alternanza di parità (stati pari e dispari).
Esempio: Buca di potenziale infinita
Consideriamo la funzione d'onda in una buca di potenziale infinita tra \( x = 0 \) e \( x = L \). Le soluzioni stazionarie sono:
\[
\psi_n(x) =
\begin{cases}
\sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) & \text{(dispari)} \\
\sqrt{\frac{2}{L}} \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) & \text{(pari)}
\end{cases}
\]
Dove \( n \) è il numero quantico principale.
Significato fisico
La parità è una simmetria fondamentale che semplifica i calcoli in problemi di meccanica quantistica. In presenza di simmetrie spaziali, consente di ridurre lo spazio delle soluzioni a funzioni pari o dispari, facilitando l'analisi degli stati quantistici.
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