Particella Libera
Descrizione e modello teorico
Una particella libera è un sistema quantistico non soggetto a potenziali esterni. In questo caso, la funzione d'onda associata soddisfa l'equazione di Schrödinger per un potenziale \( V(x) = 0 \):
\[
i \hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x, t)}{\partial x^2}
\]
La soluzione generale è una combinazione lineare di onde piane:
\[
\psi(x, t) = A e^{i(kx - \omega t)}
\]
dove \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) è il numero d'onda e \(\omega = \frac{E}{\hbar}\) è la frequenza angolare.
Energia e quantità di moto
Per una particella libera, l'energia totale è data dalla relazione:
\[
E = \frac{p^2}{2m}
\]
dove \( p = \hbar k \) è il momento. La funzione d'onda è associata alla lunghezza d'onda di De Broglie:
\[
\lambda = \frac{h}{p}
\]
Interpretazione della funzione d'onda
La densità di probabilità è definita come \( |\psi(x, t)|^2 \), e nel caso di una particella libera, la funzione d'onda non è normalizzabile su tutto lo spazio. Si utilizza una normalizzazione tramite pacchetti d'onda per descrivere meglio lo stato.
Normalizzazione e pacchetti d'onda
La funzione d'onda deve essere normalizzata:
\[
\int |\psi(x, t)|^2 dx = 1
\]
Per rendere fisicamente significativa la funzione d'onda di una particella libera, si costruisce un pacchetto d'onda combinando onde piane con un'ampiezza pesata.
Significato fisico
Una particella libera descrive il moto di un sistema non soggetto a forze esterne, con conservazione della quantità di moto e dell'energia. Questa descrizione è fondamentale per introdurre i concetti di dispersione e interferenza nei sistemi quantistici.
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