Particella Libera

Una particella libera in meccanica quantistica è un sistema privo di potenziale confinante o forze esterne: il potenziale \(V(x)\) è costante, spesso preso uguale a zero. In questa situazione, l’equazione di Schrödinger riduce il problema alla sola energia cinetica, senza livelli quantizzati come accade in buche o barriere. Ciò significa che la particella non ha autostati con energia discreta, ma un continuo di autostati con ogni valore di energia maggiore o uguale a zero.

Equazione di Schrödinger per Particella Libera

Consideriamo una dimensione spaziale. Con \(V(x)=0\), l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo diventa:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\phi(x) = E \phi(x). \]

Non essendoci confini o potenziali, le soluzioni sono funzioni d’onda di tipo ondulatorio semplice, cioè onde piane. In particolare, una soluzione generale può essere espressa come combinazione di esponenziali complesse:

\[ \phi_k(x) = e^{i k x}, \] dove \(k\) è il numero d’onda legato all’energia via \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\).

Spettro Continuo e Stati di Scattering

Per la particella libera non ci sono energie preferenziali: ogni \(k\) corrisponde a una energia diversa, e le particelle possono avere qualunque valore continuo di energia. In questo senso il loro spettro energetico è continuo, non quantizzato come in una buca o in un potenziale confinante.

Le autofunzioni \(\phi_k(x)\) non sono normalizzabili in senso stretto (non integrabili su tutto l’asse reale), ma si può definire una normalizzazione “delta-dirac” per creare una base completa e continua di stati. Qualsiasi funzione d’onda può essere espressa come sovrapposizione integrale di onde piane, un po’ come una trasformata di Fourier:

\[ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\psi}(k)e^{i k x} dk. \]

Alla Lavagna

1. Inizia con \(\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}\) e \(V=0\).

2. Scrivi l’equazione indipendente dal tempo: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\phi(x) = E\phi(x). \]

3. Soluzione generale: \[ \phi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x}, \quad \text{con } E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \] 4. Poiché non c’è potenziale, non hai condizioni quantizzanti: tutti i \(k\) sono possibili.

5. Visualizza un’onda piana che si estende su tutto lo spazio: \(\phi_k(x)=e^{i k x}\), una soluzione “libera” senza confini né nodi forzati.

Considerazioni Fisiche

La particella libera, se preparata in uno stato con numero d’onda ben definito \(k\), ha una distribuzione di probabilità uniforme nello spazio, il che non è fisicamente realistico come stato normalizzato. In pratica, si considerano pacchetti d’onda, cioè sovrapposizioni di molti valori di \(k\), che creano una funzione d’onda localizzata. Questi pacchetti possono muoversi liberamente senza modificare la loro forma ideale, tranne che per la dispersione dovuta alle componenti in \(k\).

L’analisi della particella libera è fondamentale come punto di partenza per comprendere problemi più complessi, come la diffusione su potenziali, la riflessione e la trasmissione su gradini o barriere, e la costruzione di pacchetti d’onda in meccanica quantistica.

Approfondimento Matematico sui Coefficienti di Fourier

Nella situazione di particella libera, la soluzione generale dell’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo è una combinazione lineare di onde piane. Sul piano pratico, invece di considerare un singolo stato \(\phi_k(x)=e^{i k x}\), si analizzano superposizioni di molti \(\phi_k(x)\). Questo porta alla decomposizione di \(\psi(x)\) tramite una trasformata di Fourier:

\[ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\psi}(k) e^{i k x} dk, \] dove \(\tilde{\psi}(k)\) è il coefficiente di Fourier, ovvero l’ampiezza dell’onda piana con numero d’onda \(k\). Per ricavare \(\tilde{\psi}(k)\) da una funzione nota \(\psi(x)\), si sfrutta l’ortogonalità delle funzioni \(e^{i k x}\): \[ \tilde{\psi}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)e^{-i k x} dx. \]

In tal modo si possono costruire pacchetti d’onda localizzati: se \(\tilde{\psi}(k)\) è concentrata attorno a un certo \(k_0\), allora \(\psi(x)\) sarà simile a un’onda con lunghezza d’onda media \(\lambda = 2\pi/k_0\), ma modulata da una funzione d’inviluppo più ampia. Questa modulazione è responsabile della localizzazione spaziale della particella.

Alla Lavagna: Pacchetti d’Onda

1. Parti dalla soluzione formale: \(\psi(x) = \int \tilde{\psi}(k) e^{i k x} dk\).

2. Disegna sul lato sinistro un grafico di \(\tilde{\psi}(k)\) contro \(k\), una funzione piccata attorno a \(k_0\). Spiega che il centro di questa distribuzione in spazio dei numeri d’onda determina la “quasi-impulso” della particella.

3. Sul lato destro, mostra come la trasformata inversa di Fourier produce \(\psi(x)\), un pacchetto localizzato. Più larga è la distribuzione in \(k\), più stretto è il pacchetto in \(x\). Questo riflette la relazione di indeterminazione: sapere meglio l’impulso significa avere meno certezza sulla posizione.

4. Sottolinea che per una particella libera non c’è evoluzione imposta dal potenziale, ma la forma del pacchetto può cambiare nel tempo a causa della dispersione: le componenti in \(k\) evolvono come \(e^{-i \frac{\hbar k^2}{2m} t}\), provocando un allargamento del pacchetto nel tempo.

Evoluzione Temporale di un Pacchetto Libero

Per capire come \(\psi(x,t)\) evolve, si considerano le soluzioni del tipo \(\psi_k(x,t)=e^{i k x - i\frac{\hbar k^2}{2m}t}\). Ogni componente \(\tilde{\psi}(k)\) acquisisce una fase temporale differente, cosicché il pacchetto inizialmente ben localizzato tende ad allargarsi col tempo. Il raggio medio di dispersione aumenta, rendendo il pacchetto sempre meno localizzato. Questo comportamento riflette la natura quantistica dell’impulso non definito esattamente per uno stato localizzato.

Se all’istante iniziale \(t=0\), il pacchetto è centrato su \(x_0\), con una distribuzione di \(k\) attorno a \(k_0\), allora dopo un certo tempo il pacchetto non solo si muove con una velocità media \(\hbar k_0/m\), ma si dilata, perdendo coerenza spaziale. Questa caratteristica differenzia la particella libera quantistica dalla pallina classica: mentre la pallina classica mantiene la sua “forma” e posizione, la funzione d’onda della particella quantistica libera non rimane compatta.

Significato Fisico

La particella libera rappresenta il caso più semplice di dinamica quantistica, ma racchiude le idee fondamentali della sovrapposizione di stati, della trasformata di Fourier, e della relazione di indeterminazione. Non esistono stati legati o quantizzati, e l’intera fenomenologia consiste nell’evoluzione libera di onde piane e pacchetti d’onda. Queste nozioni sono fondamentali come base per comprendere fenomeni di scattering più complessi, dove l’interazione con un potenziale produce riflessioni, trasmissioni e stati legati.

Ritorna all'Indice