Perturbazione Costante e Periodica

Introduzione

Le perturbazioni costanti e periodiche sono fondamentali nello studio delle transizioni quantistiche tra stati energetici discreti. Analizzando questi casi con l'approccio della meccanica quantistica, è possibile comprendere come un sistema risponde a stimoli esterni.

Perturbazione Costante

Consideriamo una perturbazione del tipo costante, descritta dall'Hamiltoniana perturbativa:

\( H'(t) = V \)

Questo caso conduce a una transizione tra gli stati iniziale \( \lvert i \rangle \) e finale \( \lvert f \rangle \) con una probabilità di transizione data da:

\( P_{i \to f}(t) = \frac{\lvert \langle f \lvert V \rvert i \rangle \rvert^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2(\Delta \omega t / 2)}{(\Delta \omega / 2)^2} \)

Qui \( \Delta \omega = \omega_f - \omega_i \) è la differenza di frequenze tra lo stato finale e lo stato iniziale. La funzione sinusoidale mostra un comportamento di risonanza quando \( \Delta \omega \to 0 \), il che implica che le transizioni sono più probabili per energie vicine.

Perturbazione Periodica

Una perturbazione periodica è invece descritta come:

\( H'(t) = V \cos(\omega t) \)

In questo caso, si osservano due frequenze di transizione, corrispondenti a \( \omega_f = \omega_i \pm \omega \). La probabilità di transizione è:

\( P_{i \to f}(t) = \frac{\lvert \langle f \lvert V \rvert i \rangle \rvert^2}{\hbar^2} \left[ \frac{\sin^2((\Delta \omega + \omega)t / 2)}{((\Delta \omega + \omega)/2)^2} + \frac{\sin^2((\Delta \omega - \omega)t / 2)}{((\Delta \omega - \omega)/2)^2} \right] \)

Questo comportamento è essenziale per descrivere fenomeni come l'emissione e l'assorbimento di energia da parte di un sistema, in risonanza con una perturbazione esterna.

Applicazioni

Analisi dei Passaggi Matematici

Per comprendere meglio le probabilità di transizione, analizziamo le formule derivanti dalle perturbazioni costanti e periodiche.

Perturbazione Costante

La probabilità di transizione \( P_{i \to f}(t) \) per una perturbazione costante deriva dall'integrazione nel tempo dell'interazione tra lo stato iniziale \( \lvert i \rangle \) e finale \( \lvert f \rangle \). La funzione seno-squared riflette l'interferenza delle onde di probabilità e raggiunge un massimo quando \( \Delta \omega \to 0 \). Questa situazione è nota come risonanza, in cui:

\( P_{i \to f}(t) \approx \frac{t^2 \lvert \langle f \lvert V \rvert i \rangle \rvert^2}{\hbar^2} \)

In risonanza, la probabilità cresce quadraticamente con il tempo, riflettendo un'accumulazione costante di probabilità di transizione. Questo comportamento evidenzia come una perturbazione costante possa essere efficace solo per tempi relativamente brevi o in condizioni di vicinanza energetica.

Perturbazione Periodica

Per una perturbazione periodica \( H'(t) = V \cos(\omega t) \), si considera lo sviluppo della soluzione nell'approssimazione perturbativa:

\( c_f(t) \approx -\frac{i}{\hbar} \int_0^t \langle f \lvert H'(t') \rvert i \rangle e^{i\omega_{fi}t'} dt' \)

Qui, \( \omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar} \) rappresenta la frequenza corrispondente alla differenza energetica tra gli stati. Sostituendo \( H'(t) \) nella forma periodica, otteniamo:

\( P_{i \to f}(t) = \frac{\lvert \langle f \lvert V \rvert i \rangle \rvert^2}{\hbar^2} \left[ \frac{\sin^2((\Delta \omega + \omega)t / 2)}{((\Delta \omega + \omega)/2)^2} + \frac{\sin^2((\Delta \omega - \omega)t / 2)}{((\Delta \omega - \omega)/2)^2} \right] \)

Questo risultato mostra la presenza di due frequenze di risonanza, \( \Delta \omega = \pm \omega \), che corrispondono rispettivamente all'assorbimento e all'emissione di energia da parte del sistema.

Considerazioni sulla Risonanza

La risonanza è un concetto chiave: quando l'energia della perturbazione esterna coincide con una differenza energetica tra gli stati del sistema, il trasferimento di energia è massimizzato. Questo principio è alla base di tecniche come la spettroscopia Raman e l'assorbimento ottico.

Connessione con la Regola d'Oro di Fermi

La Regola d’Oro di Fermi estende questi risultati per descrivere la probabilità di transizione in sistemi con un continuo di stati finali. La sua espressione generale è:

\( \Gamma_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} \lvert \langle f \lvert H' \rvert i \rangle \rvert^2 \rho(E_f) \)

Qui, \( \Gamma_{i \to f} \) rappresenta la velocità di transizione e \( \rho(E_f) \) è la densità degli stati finali. La Regola d’Oro di Fermi trova applicazione diretta nei processi di emissione spontanea e assorbimento stimolato.

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