Perturbazione Periodica

Nella teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo in meccanica quantistica, un caso di particolare interesse è quello di una perturbazione periodica, cioè un termine aggiuntivo nell’Hamiltoniano che varia nel tempo in modo sinusoidale o comunque periodico. Situazioni di questo tipo si presentano quando un sistema quantistico interagisce con un campo esterno oscillante, ad esempio un campo elettromagnetico monocromatico, o un potenziale che varia nel tempo con una certa frequenza. Queste perturbazioni possono indurre transizioni tra stati iniziali ed altri finali, con probabilità di transizione che presenta risonanze quando la frequenza della perturbazione corrisponde alla differenza di energia tra i livelli energetici coinvolti.

Hamiltoniano e Approccio

Consideriamo un Hamiltoniano del tipo:

\[ \hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t), \] dove \(\hat{H}_0\) è l’Hamiltoniano non perturbato con autostati \(| i \rangle\) e \(| f \rangle\), e \(\hat{V}(t)\) è la perturbazione dipendente dal tempo. Se la perturbazione è periodica con frequenza \(\omega\), possiamo scriverla come:

\[ \hat{V}(t) = \hat{V}_0 e^{-i\omega t} + \hat{V}_0^\dagger e^{i\omega t}, \] oppure, più semplicemente, come una singola componente sinusoidale o cosinusoidale:

\[ \hat{V}(t) = \hat{V}_\omega e^{-i\omega t} + \hat{V}_{-\omega}e^{i\omega t}, \] dove \(\hat{V}_{\pm\omega}\) sono operatori legati alla parte di Fourier della perturbazione.

Probabilità di Transizione e Risonanze

Se il sistema è inizialmente nello stato \(|i\rangle\) con energia \(E_i\), la perturbazione periodica può indurre transizioni verso uno stato finale \(|f\rangle\) con energia \(E_f\). Utilizzando la teoria delle perturbazioni del primo ordine, il coefficiente di transizione \(c_f(t)\) soddisfa un’equazione integrale, e per tempi lunghi la probabilità di transizione si può valutare come:

\[ P_{i\to f}(t) \approx \frac{| \langle f|\hat{V}_\omega|i\rangle |^2}{\hbar^2}\frac{\sin^2\left((\Delta E - \hbar \omega)t/(2\hbar)\right)}{\left(\frac{\Delta E - \hbar \omega}{2\hbar}\right)^2}, \] dove \(\Delta E = E_f - E_i\). Questa espressione (derivata a partire dalla formula standard di Fermi’s Golden Rule in forma non stazionaria) mostra un picco quando \(\hbar \omega \approx \Delta E\), indicando una risonanza: se la frequenza della perturbazione corrisponde alla differenza di energia tra stato iniziale e finale, la transizione è particolarmente probabile.

Alla Lavagna

1. Scrivi l’Hamiltoniano perturbato: \[ \hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t). \]

2. Assumi una perturbazione periodica: \(\hat{V}(t) = \hat{V}_\omega e^{-i\omega t} + \hat{V}_{-\omega}e^{i\omega t}\).

3. Considera una transizione \(|i\rangle \to |f\rangle\). Al primo ordine di perturbazione, il coefficiente del livello finale è proporzionale all’integrale nel tempo dell’esponenziale oscillante.

4. Mostra che la probabilità di transizione presenta una forma \(\sin^2(x)/x^2\), con un picco di risonanza quando \(\hbar \omega \approx E_f - E_i\).

5. Disegna l’andamento della probabilità di transizione in funzione di \(\omega\) evidenziando il picco risonante.

Risonanza e Ampiezza di Linea

Al crescere del tempo di interazione, le transizioni diventano più selettive rispetto alla frequenza \(\omega\) della perturbazione, poiché la funzione \(\sin^2(x)/x^2\) si restringe intorno alla risonanza. Questo fenomeno è alla base di processi di assorbimento e emissione risonante di fotoni in sistemi atomici, molecolari o solidi.

Nella pratica, l’ampiezza e la forma della risonanza possono essere modificate da effetti di decadimento, effetti di interazione tra molti livelli, e line broadening dovuti a interazioni con l’ambiente. Tuttavia, il quadro elementare fornito dalla perturbazione periodica è il punto di partenza per comprendere fenomeni di risonanza in meccanica quantistica.

Approfondimento Matematico

Un modo per comprendere meglio la derivazione della probabilità di transizione è esaminare il calcolo esplicito, partendo dalla perturbazione del primo ordine. Supponiamo che il sistema sia inizialmente nello stato |i>, autostato di energia E_i. La funzione d’onda perturbata si può espandere sugli autostati dell’Hamiltoniano non perturbato |n>. L’ampiezza per lo stato finale |f> al tempo t, al primo ordine in V(t), è data da un integrale del tipo:

\( c_f^{(1)}(t) = \frac{-i}{\hbar}\int_0^t \langle f |V(t')| i \rangle e^{i\frac{(E_f - E_i)}{\hbar}t'}\, dt' \)

Se V(t) oscilla come \( e^{-i\omega t}\) (per semplicità considerare un singolo termine della perturbazione periodica), possiamo scrivere:

\( \langle f|V(t')|i \rangle = \langle f|V_\omega|i \rangle e^{-i\omega t'} \)

Quindi l’integrale diventa:

\( c_f^{(1)}(t) = \frac{-i}{\hbar}\langle f|V_\omega| i \rangle \int_0^t e^{i\frac{(E_f - E_i)}{\hbar}t'}e^{-i\omega t'} dt' \)

Il fattore esponenziale nel tempo è:

\( e^{i\frac{(E_f - E_i)}{\hbar}t'}e^{-i\omega t'} = e^{i\frac{(E_f - E_i -\hbar \omega)}{\hbar}t' } \)

L’integrale elementare diventa:

\( \int_0^t e^{i\frac{(E_f - E_i - \hbar \omega)}{\hbar}t'} dt' = \frac{\hbar}{E_f - E_i - \hbar \omega}\left[e^{i\frac{(E_f - E_i -\hbar \omega)}{\hbar}t}-1\right] \)

Se si prende il limite di grandi tempi t, o se si considera l’ampiezza di transizione in un regime quasi-stazionario, si nota che la funzione \(\sin(x)/x\) emerge dalla parte immaginaria di questo integrale, introducendo il caratteristico profilo di risonanza. Più precisamente, utilizzando l’identità:

\( \frac{\sin(x)}{x} = \text{lim}_{\epsilon \to 0} \frac{e^{ix}-1}{ix} \)

e identificando \(x = (E_f - E_i - \hbar\omega)t/(2\hbar)\), si ottiene la famosa espressione per la probabilità di transizione con il termine \(\sin^2(x)/x^2\). Tale espressione mostra come, variando la frequenza \(\omega\), si ottenga un picco attorno alla condizione di risonanza \(E_f - E_i = \hbar\omega\).

I passaggi matematici, dunque, non sono una semplice artificio formale: mostrano come la struttura dell’integrale del tempo porti naturalmente a una risonanza ben definita, e come l’intensità della transizione dipenda dalla matrice di transizione \(\langle f|V_\omega|i\rangle\) e dall’avvicinarsi della frequenza di perturbazione alla differenza di energia tra i livelli.

Rappresentazione alla Lavagna dei Passaggi Chiave

1. Scrivere l’espressione per \( c_f^{(1)}(t) \): \(( -i/\hbar ) \int_0^t \langle f|V(t')|i\rangle e^{i(E_f - E_i)t'/\hbar} dt'\) 2. Inserire la dipendenza armonica \(V(t') = V_\omega e^{-i\omega t'}\), ottenendo l’integrale di un’esponenziale complessa. 3. Mostrare che l’integrale del tipo \(\int_0^t e^{i\alpha t'}dt'\) con \(\alpha = (E_f - E_i - \hbar \omega)/\hbar\) si riduce a \(\frac{e^{i\alpha t}-1}{i\alpha}\). 4. Riconoscere il limite, per grandi t, della funzione sinusoidale normale di Dirichlet che dà luogo alla \(\sin^2(x)/x^2\). 5. Evidenziare il picco di risonanza rappresentando su un asse orizzontale la differenza di energia \((E_f - E_i)\) e su un asse verticale la probabilità di transizione, evidenziando il massimo quando \(\hbar \omega \approx E_f - E_i\). 6. Rimarcare come questa struttura sia alla base dei fenomeni di assorbimento ed emissione stimolata in campo quantistico, e come i tempi di interazione lunghi rendano la risonanza sempre più selettiva.

Sfruttando questi metodi, si possono comprendere i fenomeni di risonanza indotti da perturbazioni periodiche nella meccanica quantistica, ponendo le basi per l’analisi delle transizioni indotte da campi oscillanti (ad esempio campi elettromagnetici) e la formulazione delle regole di selezione per l’assorbimento e l’emissione di radiazione.

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