Perturbazioni Degenere

Nel contesto delle perturbazioni stazionarie, il caso degenere si verifica quando un autovalore del sistema non perturbato è associato a più di un'autofunzione linearmente indipendente. Consideriamo in particolare una degenerazione di ordine 2, ossia uno scenario in cui due autofunzioni condividono lo stesso autovalore.

Formalismo delle perturbazioni degenere

Supponiamo che il sistema non perturbato sia descritto dall'hamiltoniana \( H_0 \), i cui autovalori degeneri siano \( E_0 \). Al primo ordine di perturbazione, l'aggiunta di un termine perturbativo \( V \) produce una matrice efficace definita nello spazio delle autofunzioni degeneri:

\[ H_{\text{eff}} = \begin{pmatrix} \langle \psi_1 | V | \psi_1 \rangle & \langle \psi_1 | V | \psi_2 \rangle \\ \langle \psi_2 | V | \psi_1 \rangle & \langle \psi_2 | V | \psi_2 \rangle \end{pmatrix} \]

Questa matrice \( H_{\text{eff}} \) è diagonale nel caso in cui \( V \) non mescoli le autofunzioni degeneri. Tuttavia, in generale, i termini non diagonali portano a un accoppiamento fra gli stati degeneri, modificando gli autovalori del sistema perturbato.

Calcolo degli autovalori corretti

Gli autovalori corretti al primo ordine si ottengono diagonalizzando \( H_{\text{eff}} \). Per una degenerazione di ordine 2, le soluzioni agli autovalori perturbati sono:

\[ E_{1,2} = \frac{\langle \psi_1 | V | \psi_1 \rangle + \langle \psi_2 | V | \psi_2 \rangle}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\langle \psi_1 | V | \psi_1 \rangle - \langle \psi_2 | V | \psi_2 \rangle}{2} \right)^2 + |\langle \psi_1 | V | \psi_2 \rangle|^2} \]

Questi autovalori rappresentano l'energia del sistema perturbato al primo ordine.

Rimozione della degenerazione

L'aggiunta del termine perturbativo rompe la simmetria originaria, rimuovendo la degenerazione degli autovalori. Gli stati degeneri originali si combinano linearmente per formare i nuovi autostati del sistema perturbato, che sono le autofunzioni di \( H_{\text{eff}} \):

I coefficienti \( a, b, c, d \) si determinano diagonalizzando \( H_{\text{eff}} \).

Diagonalizzazione della matrice efficace

Per calcolare gli autovalori corretti, è necessario diagonalizzare la matrice efficace \( H_{\text{eff}} \). La matrice \( H_{\text{eff}} \) è data da:

\[ H_{\text{eff}} = \begin{pmatrix} V_{11} & V_{12} \\ V_{21} & V_{22} \end{pmatrix} \quad \text{con} \quad V_{ij} = \langle \psi_i | V | \psi_j \rangle. \]

Per trovare gli autovalori, si risolve l'equazione caratteristica:

\[ \det(H_{\text{eff}} - \lambda I) = 0, \]

che esplicitamente diventa:

\[ \det\begin{pmatrix} V_{11} - \lambda & V_{12} \\ V_{21} & V_{22} - \lambda \end{pmatrix} = 0. \]

Espandendo il determinante, si ottiene un'equazione quadratica in \( \lambda \):

\[ \lambda^2 - (V_{11} + V_{22})\lambda + (V_{11}V_{22} - V_{12}V_{21}) = 0. \]

Le soluzioni di questa equazione forniscono gli autovalori corretti:

\[ \lambda_{1,2} = \frac{V_{11} + V_{22}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{V_{11} - V_{22}}{2}\right)^2 + |V_{12}|^2}. \]

Questi autovalori corrispondono alle energie corrette del sistema perturbato.

Combinazione lineare degli stati degeneri

Le autofunzioni associate agli autovalori corretti sono combinazioni lineari delle autofunzioni originali \( | \psi_1 \rangle \) e \( | \psi_2 \rangle \). In forma generale:

\[ | \psi' \rangle = c_1 | \psi_1 \rangle + c_2 | \psi_2 \rangle, \]

dove i coefficienti \( c_1 \) e \( c_2 \) si determinano risolvendo il sistema lineare:

\[ \begin{pmatrix} V_{11} - \lambda & V_{12} \\ V_{21} & V_{22} - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = 0. \]

Questo sistema garantisce che le autofunzioni siano ortogonali e normalizzate.

Interpretazione fisica della rimozione della degenerazione

La rimozione della degenerazione implica che la simmetria originaria del sistema non perturbato è stata modificata dall'interazione \( V \). Gli autovalori precedentemente coincidenti vengono separati, e gli stati degeneri originali si trasformano in stati del sistema perturbato con nuove proprietà fisiche.

Ad esempio, in sistemi atomici, la rottura della degenerazione è frequentemente associata a interazioni di spin-orbita o a campi elettrici/magnetici esterni che alterano il potenziale iniziale.

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