Perturbazioni Stazionarie: Caso Non Degenere

Il metodo delle perturbazioni stazionarie è una tecnica fondamentale per calcolare le correzioni agli autovalori e agli autostati di un sistema quantistico quando l'Hamiltoniana può essere scritta come somma di una parte esatta e una piccola perturbazione:

\( H = H_0 + \lambda V \)

\( H_0 \) rappresenta l'Hamiltoniana non perturbata, per la quale gli autovalori \( E_n^{(0)} \) e gli autostati \( |n^{(0)}\rangle \) sono noti:

\( H_0 |n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rangle \)

Correzioni agli Autovalori

Nel caso non degenere, il primo ordine nella perturbazione fornisce la correzione al valore proprio \( E_n^{(1)} \) come:

\( E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle \)

Il secondo ordine introduce un termine che dipende dagli autostati e dagli autovalori di tutti gli altri livelli:

\( E_n^{(2)} = \sum_{k \neq n} \frac{|\langle k^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} \)

Correzioni agli Stati

Gli autostati corretti al primo ordine vengono espressi come:

\( |n^{(1)}\rangle = \sum_{k \neq n} \frac{\langle k^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rangle \)

Il risultato mostra che il nuovo autostato \( |n\rangle \) è una combinazione lineare degli stati base, con i coefficienti determinati dalla perturbazione.

Validità del Metodo

Questo metodo è valido quando la perturbazione \( \lambda V \) è sufficientemente piccola da non alterare significativamente la struttura degli stati e degli autovalori del sistema.

Un'applicazione comune è la risoluzione di problemi in cui si aggiunge un potenziale elettrico o magnetico debole a un sistema atomico o molecolare.

Espansione degli Autostati

Per comprendere meglio come si modificano gli autostati, consideriamo l'espansione corretta al primo ordine:

\( |n\rangle = |n^{(0)}\rangle + \lambda |n^{(1)}\rangle \)

Sostituendo questa espressione nell'equazione agli autovalori perturbata:

\( H |n\rangle = (H_0 + \lambda V)(|n^{(0)}\rangle + \lambda |n^{(1)}\rangle) \)

Espandendo e raccogliendo i termini di primo ordine in \( \lambda \), otteniamo:

\( (H_0 - E_n^{(0)}) |n^{(1)}\rangle + (V - E_n^{(1)}) |n^{(0)}\rangle = 0 \)

Moltiplicando a sinistra per \( \langle k^{(0)} | \), con \( k \neq n \), e usando l'ortogonalità degli autostati non perturbati, troviamo la condizione per i coefficienti dell'espansione di \( |n^{(1)}\rangle \):

\( \langle k^{(0)} |n^{(1)}\rangle = \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} \)

Questo risultato implica che il primo ordine della correzione agli autostati è determinato dalle proiezioni del potenziale perturbativo \( V \) sugli altri autostati del sistema non perturbato.

Significato Fisico delle Correzioni

Le correzioni agli autovalori e agli autostati riflettono come la perturbazione modifica le proprietà quantistiche del sistema. In particolare:

Correzioni agli autovalori: Rappresentano l'energia aggiuntiva o sottratta dal sistema a causa dell'interazione perturbativa.
Correzioni agli autostati: Indicano come la funzione d'onda del sistema si modifica, includendo contributi dagli altri stati base a causa della perturbazione.

Esempio Applicativo: Oscillatore Armonico

Consideriamo un oscillatore armonico quantistico sottoposto a una perturbazione del tipo:

\( V = \alpha x^4 \)

Qui \( \alpha \) è un piccolo parametro che controlla l'intensità della perturbazione. Per calcolare il primo ordine dell'energia per il livello base \( |0\rangle \):

\( E_0^{(1)} = \langle 0^{(0)} | \alpha x^4 | 0^{(0)} \rangle \)

Sostituendo il potenziale perturbativo e le proprietà note degli autostati del potenziale armonico, possiamo calcolare esattamente questa correzione.

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