Perturbazioni Non Dipendenti dal Tempo

Nella meccanica quantistica, il metodo delle perturbazioni non dipendenti dal tempo offre un approccio sistematico per approssimare l’evoluzione di sistemi la cui Hamiltoniana è leggermente diversa da un problema già noto e risolto. Si parte da un Hamiltoniano non perturbato \(\hat{H}_0\), i cui autostati ed autovalori sono noti, e si considera una perturbazione \(\hat{H}'\) piccola rispetto a \(\hat{H}_0\). L’Hamiltoniano completo è:

\[ \hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{H}', \] dove \(\lambda\) è un parametro che misura l’entità della perturbazione, spesso considerato come “piccolo”.

L’obiettivo è trovare correzioni agli autovalori e agli autostati di \(\hat{H}_0\) in potenza di \(\lambda\). Si ottengono così soluzioni approssimate a ordini successivi, ad esempio:

\[ E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \] \[ |\psi_n\rangle = |\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \cdots \] dove \(E_n^{(0)}, |\psi_n^{(0)}\rangle\) sono gli autovalori e gli autostati non perturbati.

Perturbazione Non Degenere

Nella situazione non degenere, ogni livello energetico \(\hat{H}_0 |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle\) è non degenere. Ciò semplifica notevolmente la procedura. La prima correzione all’energia è data da:

\[ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)}|\hat{H}'|\psi_n^{(0)}\rangle. \]

Questo risultato elegantemente mostra che la correzione di primo ordine all’energia è la media dell’operatore perturbativo sullo stato non perturbato. La prima correzione allo stato, invece, esprime lo stato perturbato come combinazione degli autostati non perturbati con energie diverse:

\[ |\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_{m \neq n} \frac{\langle \psi_m^{(0)}|\hat{H}'|\psi_n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} |\psi_m^{(0)}\rangle. \]

Correzioni a ordini superiori si ottengono iterando il procedimento. Questo metodo, noto come perturbazione non degenere, è un pilastro della meccanica quantistica applicata, utile per trattare sistemi leggermente differenti da casi noti, come l’oscillatore armonico modificato o l’atomo con un potenziale leggermente variato.

Effetto Stark come Esempio di Perturbazione Non Dipendente dal Tempo

Un esempio classico di perturbazione non dipendente dal tempo è l’effetto Stark, dove un atomo, ad esempio l’atomo di idrogeno, è posto in un campo elettrico statico uniforme. L’Hamiltoniano non perturbato è quello dell’atomo isolato, i cui livelli energetici e autofunzioni sono noti. La perturbazione è l’interazione con il campo elettrico:

\[ \hat{H}' = -e \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{r}}, \] dove \(e\) è la carica dell’elettrone, \(\mathbf{E}\) il campo elettrico costante e \(\hat{\mathbf{r}}\) la posizione dell’elettrone. In prima approssimazione, l’effetto del campo è quello di “spostare” gli autovalori energetici (indurre uno splitting) al primo ordine in \(\mathbf{E}\), senza cambiare drasticamente la struttura dei livelli. Ciò causa un ampio interesse pratico, per esempio nello studio degli spettri atomici soggetti a campi esterni.

Nel caso dell’atomo di idrogeno non degenere (se ci focalizziamo su livelli con degenerazione rimossa o consideriamo opportune combinazioni di stati), la formula per la prima correzione all’energia assume esattamente la forma dell’attesa di \(-e \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{r}}\) nello stato considerato. Stati con simmetria sferica come l’orbitale \(1s\) non subiranno un primo ordine nell’Effetto Stark perché il valore medio di \(\mathbf{r}\) è zero, ma stati con simmetrie differenti possono mostrare uno splitting osservabile già al primo ordine di perturbazione.

Alla Lavagna

1. Parti dall’Hamiltoniano perturbato: \[ \hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{H}'. \] 2. Assumi di conoscere \(\hat{H}_0 |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle\).

3. Scrivi le espansioni: \[ E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \cdots, \quad |\psi_n\rangle = |\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \cdots \] 4. Mostra che al primo ordine: \[ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)}|\hat{H}'|\psi_n^{(0)}\rangle. \] 5. Per lo stato, evidenzia: \[ |\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_{m \neq n}\frac{\langle \psi_m^{(0)}|\hat{H}'|\psi_n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}|\psi_m^{(0)}\rangle. \] 6. Applica questi concetti all’effetto Stark: l’operatore perturbante è \(-e \mathbf{E}\cdot \hat{\mathbf{r}}\). Calcola \(\langle \psi_n^{(0)}|-e \mathbf{E}\cdot \hat{\mathbf{r}}|\psi_n^{(0)}\rangle\) per ottenere il primo ordine nell’energia.

Considerazioni Finali

Il metodo delle perturbazioni non dipendenti dal tempo è un potente strumento per dedurre come un piccolo cambiamento dell’Hamiltoniano influisce su energie e stati. L’effetto Stark ne è un chiaro esempio: un campo elettrico uniforme, sebbene debole, produce uno shift misurabile nei livelli energetici atomici. Tale shift è calcolabile sistematicamente con la teoria delle perturbazioni, mostrando la versatilità e l’utilità del formalismo perturbativo nella fisica atomica, molecolare e dello stato solido.

Secondo ordine e considerazioni aggiuntive

Se la perturbazione è molto piccola, l’approssimazione di primo ordine fornisce già un risultato utile, ma in alcuni casi è necessario spingersi fino al secondo ordine o oltre. Il secondo ordine per l’energia è più complesso, dato da una somma su tutti gli stati diversi da quello considerato, pesata dal quadrato degli elementi di matrice di \(H'\) e divisa dalla differenza di energia non perturbata. In simboli, per uno stato non degenere, l’energia al secondo ordine risulta:

\[E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}.\]

Ne emerge una serie infinita che, nelle situazioni realistiche, si tronca o si approssima, poiché gli stati ad energie molto lontane dal livello considerato influiscono sempre meno in modo significativo. In pratica, quando si applicano metodi perturbativi, spesso si tengono in conto pochi termini (primo, secondo ordine), sperando che la serie converga rapidamente.

Note sul comportamento in presenza di degenerazione

Fin qui si è considerata la perturbazione in caso non degenere. In presenza di degenerazione (ovvero più autostati con la stessa energia \(E_n^{(0)}\)), la procedura cambia, poiché bisogna prima risolvere il problema all’interno del sottospazio degenere per trovare gli stati corretti sui quali costruire l’espansione perturbativa. Questo significa che se \(E_n^{(0)}\) è un autovalore con degenerazione \(d\), bisogna diagonalizzare l’operatore \(H'\) all’interno dello spazio generato dagli stati degeneri per ottenere una nuova base di autofunzioni non perturbate "buone" per applicare la formula del primo ordine. Solo dopo aver scelto questa base, si procede come nel caso non degenere.

Applicazione all’effetto Stark in maggiore dettaglio

Consideriamo ora l’effetto Stark: l’Hamiltoniano perturbato è \(H = H_0 + H'\), con \(H' = -e E x\) se il campo è diretto lungo \(x\). Supponiamo di partire da uno stato iniziale \(\psi_n^{(0)}\) non degenere (per esempio un livello con \(l=0\) negli atomi idrogenoidi, se consideriamo la breaking di degenerazione per qualche altro effetto). Per calcolare la correzione di primo ordine all’energia:

  1. Si prende l’integrale \(\langle \psi_n^{(0)} | -e E x | \psi_n^{(0)} \rangle\).
  2. Se l’orbitale è simmetrico e la funzione d’onda ha parità sferica, l’integrale può risultare nullo, indicando che l’energia di primo ordine non si sposta.
  3. Per stati con parità differente o non sferici, il valore medio di \(x\) potrebbe non essere zero, dando luogo ad uno shift lineare in \(E\).

In questo modo l’effetto Stark evidenzia che già al primo ordine la presenza di un campo esterno modifica i livelli energetici. A livello microscopico, ciò avviene poiché il campo esterno induce una separazione di carica, rendendo più probabile trovare l’elettrone spostato in direzione del campo. Nei casi con degenerazione, alcuni stati possono mescolarsi e ottenere uno splitting anche più marcato.

Descrizione di un semplice schema alla lavagna

1. Scrivere di nuovo: \(H = H_0 + \lambda H'\).

2. Mostrare la formula di primo ordine per \(E_n^{(1)}\) come integrale \(\langle \psi_n^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle\).

3. Disegnare una linea che rappresenta il livello energetico non perturbato \(E_n^{(0)}\). Segnare sopra di esso i piccoli shift verso l’alto o il basso causati da \(H'\). Scrivere per \(E_n^{(2)}\) la formula con somma sugli \(m\), facendo vedere che serve conoscere tutte le matrici \(\langle \psi_m^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle\).

4. In caso di degenerazione: disegnare più livelli sullo stesso orizzontale per \(E_n^{(0)}\), indicare che prima di applicare le formule del primo ordine, bisogna diagonalizzare \(H'\) in quel sottospazio.

5. Considerare l’effetto Stark: \(H' = -e E x\), mostrare un sistema atomico e dire che l’azione del campo \(E\) è "tiltare" l’orbitale, indicando graficamente che l’elettrone "preferisce" stare un po’ più da una parte, spostando l’energia.

Il metodo perturbativo non dipendente dal tempo offre dunque un quadro chiaro di come piccole variazioni dell’Hamiltoniano influiscano sui livelli energetici. Le formule di primo e secondo ordine permettono di calcolare gli shift energetici e le modifiche agli stati, mentre l’applicazione a problemi specifici, come l’effetto Stark, rende tangibile l’utilità di questo approccio nello studio di fenomeni fisici reali.

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