La meccanica quantistica è una teoria fondata su un insieme di postulati che delineano come rappresentare gli stati fisici, quali sono gli osservabili e come avvengono le misure. Queste assunzioni di base forniscono la struttura matematica e concettuale necessaria per descrivere fenomeni a scale in cui la meccanica classica non è più applicabile.
Il primo postulato stabilisce che a ogni stato fisico di un sistema quantistico è associato un vettore (raggio) in uno spazio di Hilbert complesso. La funzione d’onda \(\psi(\mathbf{r},t)\) o il ket \(|\psi(t)\rangle\) rappresentano lo stato. Più precisamente, lo stato è un elemento di uno spazio vettoriale complesso con prodotto scalare, e la fisica non cambia se il vettore è moltiplicato da una fase complessa. I vettori di stato non sono normati a caso: la norma quadrata fornisce la probabilità totale di trovare la particella in qualche punto dello spazio, che deve essere pari a 1.
Il secondo postulato identifica gli osservabili fisici con operatori hermitiani (autoaggiunti) che agiscono sullo spazio di Hilbert. Posizione, impulso, energia, momento angolare, spin, ogni grandezza misurabile corrisponde a un operatore hermitiano. La condizione di hermiticità garantisce autovalori reali, cioè valori fisicamente interpretabili come risultati delle misure.
Il terzo postulato stabilisce le regole per la misura degli osservabili. Se l’osservabile \(\hat{A}\) ha un insieme di autovalori \(\{a_n\}\) e le rispettive autofunzioni \(\{\phi_n\}\), allora la probabilità di trovare il valore \(a_n\) misurando \(\hat{A}\) nello stato \(\psi\) è:
\[ P(a_n) = \int \phi_n^*(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})\, d^3r \quad (\text{o corrispondente in notazione bra-ket}) \] Se la misura dà come risultato \(a_n\), lo stato dopo la misura collassa nell’autofunzione corrispondente (o in una subspace degenerata). Questo descrive un cambiamento istantaneo e non unitario dello stato, un aspetto unico della misura quantistica.Il quarto postulato fornisce la legge di evoluzione temporale dello stato. L’equazione di Schrödinger stabilisce come lo stato \(|\psi(t)\rangle\) cambi nel tempo in assenza di misure:
\[ i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle, \] dove \(\hat{H}\) è l’Hamiltoniano del sistema. Questa evoluzione è lineare, unitaria e determina la dinamica del sistema. Senza misura, il sistema evolve in modo deterministico, sebbene sia la funzione d’onda, non una traiettoria classica.Dagli operatori hermitiani, si ottiene una base di autofunzioni ortonormali. Qualsiasi stato può essere espanso in questa base. Se l’autovalore è degenere, si possono scegliere gli autostati per formare una base ortonormale nel sottospazio degenerato. Questa struttura garantisce la potenza e la versatilità della formulazione quantistica.
I postulati definiscono la struttura della teoria: gli stati come elementi di uno spazio vettoriale complesso, gli osservabili come operatori hermitiani, la misura come processo statistico di proiezione e l’evoluzione unitaria come processo continuo e deterministico. Nonostante il carattere probabilistico delle misure e il collasso dello stato, questi postulati forniscono un quadro coerente e potente per descrivere i fenomeni quantistici, superando i limiti della fisica classica a scale atomiche e subatomiche.
Alcune implicazioni dei postulati meritano di essere osservate più da vicino. Quando si considera un operatore hermitiano \(\hat{A}\), oltre a garantire valori di misura reali, l'insieme delle autofunzioni fornisce una base completa per espandere qualunque stato. Ogni stato \(|\psi\rangle\) può essere decomposto nella base degli autostati \(|a_n\rangle\) di \(\hat{A}\), e i coefficienti di questa espansione hanno un chiaro significato probabilistico, come discusso precedentemente. Se \(\hat{A}\) rappresenta, ad esempio, la posizione, allora la funzione d’onda \(\psi(x)\) non è altro che la proiezione di \(|\psi\rangle\) sulla base continua \(|x\rangle\).
Il postulato della misura stabilisce che la probabilità di ottenere un determinato autovalore è data dal modulo quadro del coefficiente nella decomposizione dello stato nella base di quell’osservabile. Una volta effettuata la misura, lo stato subisce un collasso istantaneo e non-unitario verso l’autofunzione corrispondente all’autovalore misurato. Questa discontinuità è un aspetto peculiare della teoria quantistica: l’evoluzione temporale è governata dall’equazione di Schrödinger ed è lineare e unitaria, ma la misura introduce un cambiamento non-unitario. Questo rende la misura un processo non banale da interpretare. In contesti più avanzati, il collasso è stato oggetto di numerose interpretazioni e riflessioni (interpretazioni a molti mondi, decoerenza ambiente-indotta, teorie a variabili nascoste, ecc.).
Consideriamo ora in modo più dettagliato la dimostrazione dell’ortogonalità delle autofunzioni associate a differenti autovalori. Supponiamo di avere due autofunzioni \(\phi_m(\mathbf{r})\) e \(\phi_n(\mathbf{r})\) con \(\hat{H}\phi_m = E_m \phi_m\) e \(\hat{H}\phi_n = E_n \phi_n\), e \(E_m \neq E_n\). Consideriamo l'integrale:
Dall'ermiticità di \(\hat{H}\), si ha \(\langle \phi_m|\hat{H}\phi_n\rangle = \langle \hat{H}\phi_m|\phi_n\rangle^*\). Utilizzando questa relazione, sottraendo le due espressioni e ricordando che \(E_m \neq E_n\), si ottiene direttamente:
Da cui segue che:
Mostrata l’ortogonalità, la normalizzazione è una semplice condizione di scelta della scala delle autofunzioni. Essendo soluzioni di un’equazione differenziale lineare, se \(\phi_n(\mathbf{r})\) è una soluzione, anche \(c\phi_n(\mathbf{r})\) lo è per qualunque costante c. Scegliendo opportunamente c, si ottiene la condizione di normalizzazione. Questo rende la base di autofunzioni un insieme di vettori ortonormali, proprio come in algebra lineare, garantendo la massima semplicità di manipolazione degli stati.
Per quanto riguarda l'evoluzione temporale, se all’istante \(t=0\) lo stato è \(|\psi(0)\rangle = \sum_n c_n(0) |E_n\rangle\) con \(\hat{H}|E_n\rangle = E_n|E_n\rangle\), allora per \(t > 0\):
La coerenza tra autostati produce fenomeni di interferenza e oscillazioni temporali nella densità di probabilità.
Questa formula mostra che le fasi dei diversi autostati ruotano a velocità angolari proporzionali alle loro energie. Se i livelli energetici non sono degeneri, i diversi fattori di fase non potranno essere resi uguali con una semplice trasformazione globale, il che può produrre fenomeni di interferenza e oscillazioni della densità di probabilità nel tempo. La coerenza quantistica tra autostati diversi è alla base dei fenomeni tipicamente quantistici, come lo splitting di livelli, risonanze, e spettroscopia atomica.
Se c’è degenerazione, si ha la possibilità di definire una base ortonormale interna al sottospazio degenerato. L’osservatore può scegliere combinazioni lineari degli autostati degeneri in modo da evidenziare simmetrie o altre proprietà del sistema. Ad esempio, nell’atomo di idrogeno, i livelli energetici mostrano degenerazione orbitale: si possono scegliere le autofunzioni come autostati del momento angolare o come combinazioni lineari per mostrare simmetrie direzionali.
In definitiva, i postulati e le proprietà che ne conseguono (ertmicità, ortonormalità, completezza, evoluzione unitaria, collasso alla misura) costituiscono uno schema ben definito, che riesce a descrivere fenomeni fisici con un’accuratezza straordinaria. Questa struttura assiomatica, ben lontana dal ridursi a un semplice formalismo matematico, incarna una concezione radicalmente nuova del concetto di stato fisico, misura e previsione degli esiti sperimentali, spostando il focus dalla determinazione classica delle traiettorie a una descrizione probabilistica della realtà su scale atomiche e subatomiche.
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