Potenziale Centrale: Soluzione Radiale con \( u(r) = rR(r) \)

Quando si studia un sistema a potenziale centrale \( V(r) \), cioè un potenziale dipendente solo dalla distanza dal centro \(r=|\mathbf{r}|\), l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo in tre dimensioni assume una forma particolarmente utile se si impiegano coordinate sferiche. L’operatore Hamiltoniano si separa nelle variabili radiali e angolari. Gli autofunzioni dell’Hamiltoniano possono essere scritte come:

\[ \psi_{nlm}(r,\theta,\varphi) = R_{nl}(r) Y_{l}^{m}(\theta,\varphi), \] dove \(Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)\) sono le armoniche sferiche (autofunzioni del momento angolare) e \(R_{nl}(r)\) è la parte radiale, da determinare risolvendo l’equazione radiale.

Equazione Radiale

L’equazione di Schrödinger con un potenziale centrale è:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi(r,\theta,\varphi) + V(r)\psi(r,\theta,\varphi) = E \psi(r,\theta,\varphi). \] In coordinate sferiche, la parte angolare è gestita dalle armoniche sferiche \(Y_{l}^{m}\), mentre la parte radiale soddisfa l’equazione radiale. Introducendo la soluzione nella forma \(\psi(r,\theta,\varphi) = \frac{u_{l}(r)}{r}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)\), si ottiene un’equazione solo in funzione di \(r\).

Questa sostituzione \(\psi(r,\theta,\varphi) = \frac{u(r)}{r}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)\) è particolarmente utile perché rimuove il primo ordine in derivate radiali e conduce a un’equazione radiale più semplice:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u(r)}{dr^2} + \left[ V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2} \right]u(r) = E u(r). \]

Qui il termine \(\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}\) proviene dal momento angolare e rappresenta la “barriera centrifuga”.

Equazione Radiale con \( u(r) \)

L’equazione radiale diventa:

\[ \frac{d^2 u(r)}{dr^2} = \frac{2m}{\hbar^2}\left[V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}- E \right]u(r). \] Una volta che si conosce \(V(r)\), si tratta di un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine per \(u(r)\). Il problema radiale viene così reso esplicito, con il vantaggio di avere una singola variabile, anziché le tre coordinate spaziali.

Condizioni al Contorno

Le condizioni fisiche per \(u(r)\) sono:

\(u(r)\) deve rimanere finita a \(r=0\). Questo implica che \(R(r)=\frac{u(r)}{r}\) non diverga più velocemente di \(1/r\), quindi tipicamente \(u(r)\sim r^{l+1}\) per \(r \to 0\).
Per \(r \to \infty\), se gli stati sono legati, \(u(r)\) deve andare a zero abbastanza rapidamente da garantire la normalizzabilità dell’autofunzione.

Alla Lavagna

1. Scrivi la separazione della funzione d’onda in coordinate sferiche: \[ \psi(r,\theta,\varphi)=R_{l}(r)Y_{l}^{m}(\theta,\varphi). \]

2. Sostituisci \(R_{l}(r)=\frac{u_{l}(r)}{r}\): \[ \psi(r,\theta,\varphi)=\frac{u_{l}(r)}{r}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi). \]

3. Mostra che l’equazione di Schrödinger produce l’equazione per \(u(r)\): \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u(r)}{dr^2} + \left[V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}\right]u(r)=E u(r). \] 4. Evidenzia come questa equazione radiale sia simile a un problema monodimensionale in variabile \(r\) con un “potenziale efficace”: \[ V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}. \]

Interpretazione Fisica

Il termine \(\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}\) agisce come una barriera centrifuga che impedisce alla particella di collassare verso \(r=0\). Per il problema dell’atomo di idrogeno, ad esempio, il potenziale centrale è coulombiano, e le soluzioni radiali sono espresse in termini di polinomi associati a funzioni speciali (polinomi di Laguerre). Per l’oscillatore armonico in 3D, le soluzioni radiali coinvolgono i polinomi di Hermite, dopo opportune trasformazioni.

In generale, la riduzione a un problema radiale permette di sfruttare la simmetria sferica del potenziale, semplificando notevolmente la ricerca delle soluzioni e la comprensione della struttura degli stati quantistici del sistema.

Derivazione passo-passo dell’equazione radiale con u(r)

Per comprendere a fondo l’origine dell’equazione radiale:

Partiamo dall’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo in coordinate sferiche:

1. Si scrive la funzione d’onda come \(\psi(r,\theta,\varphi)= R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)\). Gli armonici sferici \(Y_{l}^{m}\) sono gli autostati del momento angolare con i numeri quantici \(l\) e \(m\). Il termine angolare è già noto e standardizzato; la sfida sta nel trovare \(R(r)\).

2. L’operatore laplaciano in coordinate sferiche, applicato ad una funzione di questa forma, conduce a un termine radiale e uno angolare. L’angolare, agendo su \(Y_{l}^{m}\), produce un fattore \(\hbar^2 l(l+1)/(2m r^2)\) che si comporta come un potenziale centrifugo. In altre parole, l’effetto del momento angolare è quello di aggiungere un termine \(\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}\) al potenziale effettivo.

3. Poiché i termini angolari sono completamente separati, inseriamo la forma \( R(r)=\frac{u(r)}{r} \). Questa sostituzione non è un trucco arbitrario, ma una scelta motivata dalla struttura della parte radiale del laplaciano in coordinate sferiche. Infatti, quando si sviluppa il termine \(\nabla^2 \psi\), l’utilizzo di \(\psi=\frac{u(r)}{r}Y_l^m(\theta,\varphi)\) elimina i termini del primo ordine in \(\frac{dR}{dr}\) e semplifica l’equazione radiale a una forma simile a un problema unidimensionale.

Come avviene questo? La derivata radiale del tipo \(\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})\) si trasforma, se poniamo \(R(r)=\frac{u(r)}{r}\), in \(\frac{1}{r}\frac{d^2 u(r)}{dr^2}\) più termini che si cancellano elegantemente. Risultato: si passa da un’equazione differenziale più complessa a una della forma

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u(r)}{dr^2} + \left(V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}\right)u(r)=E u(r). \]

L’equazione per u(r) così ottenuta: possiede la stessa struttura concettuale di un problema monodimensionale in una variabile radiale \(r\), con un potenziale effettivo

\[ V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}. \]

4. Gli stati legati richiedono che u(r) vada a zero per \(r \to \infty\) e che u(r) non diverga all’origine. Spesso, all’origine, per l ≤ 0, si trova che u(r) \(\sim r^{l+1}\) per garantire la finitezza della funzione d’onda. Queste condizioni al contorno permettono di quantizzare i livelli energetici del sistema, poiché non tutte le energie E ammettono soluzioni regolari e normalizzabili.

In pratica:

Si determina la forma del potenziale V(r)
Si imposta l’equazione differenziale radiale per u(r)
Si impongono le condizioni al contorno (u(0)=0 se l≥0, e u(r) → 0 quando r → ∞)
Si trovano le energie E che consentono soluzioni regolari e normalizzabili

Esempio: per il potenziale coulombiano dell’atomo di idrogeno, le soluzioni dell’equazione radiale così ottenuta portano a serie di potenze e, con opportune condizioni di terminazione della serie, si ricavano i livelli energetici ben noti con l’energia quantizzata in funzione del numero quantico principale n. L’introduzione di u(r) semplifica notevolmente la matematica, rendendo il problema affrontabile con metodi analitici o numerici.

Ritorna all'Indice