Potenziali Centrali
Introduzione
Un potenziale centrale è un campo di forze in cui l'energia potenziale dipende unicamente dalla distanza \( r \) dal centro del potenziale.
Esempi comuni includono il potenziale gravitazionale \( V(r) \propto -\frac{1}{r} \) e il potenziale coulombiano.
Separazione delle variabili nell'equazione di Schrödinger
L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per un potenziale centrale è:
\[
-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(r) \psi = E \psi
\]
In coordinate sferiche, il laplaciano assume la forma:
\[
\nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}
\]
Separando la funzione d'onda come \( \psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y(\theta, \phi) \), si ottiene:
\[
-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right) - \frac{\ell (\ell + 1)}{r^2} R \right) + V(r) R = E R
\]
La parte angolare è descritta dagli armonici sferici \( Y_\ell^m(\theta, \phi) \), soluzioni dell'equazione:
\[
\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2} + \ell (\ell + 1) Y = 0
\]
Esempi di potenziali centrali
- Potenziale coulombiano: \( V(r) = -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \), utilizzato per descrivere l'interazione elettrica tra protoni ed elettroni nell'atomo di idrogeno.
- Oscillatore armonico tridimensionale: \( V(r) = \frac{1}{2} k r^2 \), utilizzato per modellare vibrazioni molecolari o potenziali confinanti in fisica quantistica.
Soluzioni nel caso di potenziale coulombiano
Per il potenziale coulombiano, le soluzioni radiali \( R(r) \) sono descritte da:
\[
R_{n\ell}(r) = N_{n\ell} \, e^{-\frac{r}{n a_0}} \left( \frac{2r}{n a_0} \right)^\ell L_{n-\ell-1}^{2\ell+1} \left( \frac{2r}{n a_0} \right)
\]
dove \( N_{n\ell} \) è un fattore di normalizzazione, \( L_{n-\ell-1}^{2\ell+1} \) sono i polinomi di Laguerre associati e \( a_0 \) è il raggio di Bohr.
Proprietà generali
- La quantizzazione dei livelli energetici emerge naturalmente dalla separazione delle variabili.
- La simmetria sferica implica che le soluzioni angolari siano descritte dagli armonici sferici \( Y_\ell^m(\theta, \phi) \).
Soluzione completa per il potenziale coulombiano
Il potenziale coulombiano \( V(r) = -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \) porta a livelli energetici discreti e soluzioni radiali ottenute risolvendo l'equazione radiale:
\[
\frac{d^2 u(r)}{dr^2} + \left( \frac{2m}{\hbar^2} \left[ E + \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r} \right] - \frac{\ell(\ell + 1)}{r^2} \right) u(r) = 0
\]
dove \( u(r) = r R(r) \). Questa trasformazione semplifica l'equazione eliminando il termine \( \frac{1}{r} \frac{du}{dr} \).
Passaggi per ottenere le soluzioni radiali
1. Si introduce il parametro adimensionale \( \rho = \frac{r}{n a_0} \), con \( a_0 = \frac{\hbar^2}{me^2} \) (raggio di Bohr). Sostituendo nell'equazione radiale, si ottiene:
\[
\frac{d^2 u}{d\rho^2} + \left( -\frac{1}{n^2} + \frac{2}{\rho} - \frac{\ell (\ell + 1)}{\rho^2} \right) u = 0
\]
2. La soluzione generale è scritta come \( u(\rho) = \rho^\ell e^{-\rho} v(\rho) \), dove \( v(\rho) \) è un polinomio di grado \( n - \ell - 1 \). Questo porta ai polinomi di Laguerre associati:
\[
v(\rho) = L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(2\rho)
\]
3. La funzione radiale normalizzata è quindi:
\[
R_{n\ell}(r) = N_{n\ell} \, e^{-\frac{r}{n a_0}} \left( \frac{2r}{n a_0} \right)^\ell L_{n-\ell-1}^{2\ell+1} \left( \frac{2r}{n a_0} \right)
\]
Energia quantizzata
I livelli energetici risultano quantizzati e dipendono solo dal numero quantico principale \( n \):
\[
E_n = -\frac{m e^4}{2 \hbar^2 n^2}
\]
Questo risultato spiega gli spettri discreti osservati negli atomi e si applica perfettamente al caso dell'atomo di idrogeno.
Soluzioni angolari
Le soluzioni angolari sono descritte dagli armonici sferici \( Y_\ell^m(\theta, \phi) \), che soddisfano:
\[
\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2} + \ell (\ell + 1) Y = 0
\]
Gli armonici sferici sono definiti come:
\[
Y_\ell^m(\theta, \phi) = N_\ell^m P_\ell^m(\cos \theta) e^{im\phi}
\]
dove \( P_\ell^m \) sono i polinomi associati di Legendre e \( N_\ell^m \) è un fattore di normalizzazione.
Osservazioni
- La simmetria sferica del potenziale centrale semplifica il problema in coordinate sferiche, portando a soluzioni ben definite.
- La separazione delle variabili evidenzia il contributo indipendente delle componenti radiali e angolari.
- Il risultato finale spiega perché gli spettri atomici siano costituiti da righe discrete, in perfetto accordo con le osservazioni sperimentali.
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