Probabilità di Transizione

La probabilità di transizione tra stati quantistici è un concetto chiave nelle perturbazioni dipendenti dal tempo. Questo fenomeno descrive il passaggio di un sistema da uno stato iniziale \(|i\rangle\) a uno stato finale \(|f\rangle\) sotto l'effetto di una perturbazione temporale.

Equazione di Base

La probabilità di transizione è espressa dalla regola di oro di Fermi per una perturbazione debole. Supponiamo che la perturbazione temporale sia descritta da un termine \(\hat{H}'(t)\) nell'hamiltoniana totale:

\[ \hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{H}'(t) \]

Se \(\hat{H}'(t)\) è debole, la probabilità di transizione per unità di tempo verso uno stato finale \(|f\rangle\) è data da:

\[ W_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f | \hat{H}' | i \rangle|^2 \rho(E_f) \]

dove \(\rho(E_f)\) è la densità degli stati finali alla stessa energia \(E_f\).

Perturbazione Costante e Periodica

Quando la perturbazione è costante o periodica, la probabilità di transizione può essere calcolata separatamente. Se \(\hat{H}'(t) = V \cos(\omega t)\), la probabilità di transizione include contributi risonanti per \(\hbar\omega = E_f - E_i\):

\[ P_{i \to f}(t) = \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2\left(\frac{\Delta\omega t}{2}\right)}{\left(\frac{\Delta\omega}{2}\right)^2} \]

Qui, \(\Delta\omega = \omega - \frac{E_f - E_i}{\hbar}\) è la differenza tra la frequenza della perturbazione e la risonanza.

Emissione e Assorbimento Risonante

Nel caso risonante, il sistema può emettere o assorbire energia. Questo fenomeno è descritto dal bilancio tra emissione spontanea, emissione stimolata e assorbimento:

Transizioni al Continuo

Se lo stato finale appartiene a un continuo di stati, la densità \(\rho(E_f)\) gioca un ruolo cruciale nella probabilità di transizione. La regola d’oro di Fermi è particolarmente utile in questo caso:

\[ W_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f | \hat{H}' | i \rangle|^2 \rho(E_f) \]

Questa formula viene utilizzata per calcolare tassi di decadimento e sezioni d'urto in fisica delle particelle.

Vita Media e Larghezza di Riga

La vita media di uno stato eccitato \(\tau\) è correlata al tasso di transizione totale \(\Gamma\):

\[ \tau = \frac{1}{\Gamma} \]

La larghezza di riga \(\Delta E\) è legata al principio di indeterminazione:

\[ \Delta E \cdot \tau \geq \hbar \]

Questo concetto è fondamentale per comprendere la spettroscopia e il decadimento degli stati quantistici.

Approfondimento Matematico: Integrale di Transizione

La probabilità di transizione può essere ottenuta calcolando l'ampiezza di transizione temporale tra lo stato iniziale \(|i\rangle\) e quello finale \(|f\rangle\). Questo è dato dall'integrale dell'elemento di matrice della perturbazione nel tempo:

\[ c_f(t) = -\frac{i}{\hbar} \int_0^t \langle f | \hat{H}'(t') | i \rangle e^{i\omega_{fi} t'} dt' \]

Qui \(\omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar}\) rappresenta la frequenza di transizione e \(\hat{H}'(t)\) è l'hamiltoniana perturbativa dipendente dal tempo. In condizioni di risonanza, il termine esponenziale diventa dominante, semplificando il calcolo.

Soluzione per Perturbazioni Periodiche

Per una perturbazione sinusoidale del tipo \(\hat{H}'(t) = V \cos(\omega t)\), possiamo scomporla usando le identità trigonometriche:

\[ \cos(\omega t) = \frac{1}{2} \left( e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} \right) \]

Questo permette di calcolare separatamente i termini che corrispondono a emissione e assorbimento risonante. L'ampiezza di transizione diventa:

\[ c_f(t) = -\frac{i}{2\hbar} \left( V_{fi} \int_0^t e^{i(\omega - \omega_{fi})t'} dt' + V_{fi}^* \int_0^t e^{-i(\omega + \omega_{fi})t'} dt' \right) \]

Dove \(V_{fi} = \langle f | V | i \rangle\). Per il caso risonante, il termine dominante è quello con \(\omega \approx \omega_{fi}\).

Probabilità di Transizione nel Caso Risonante

Nel caso risonante (\(\omega \approx \omega_{fi}\)), il modulo quadro dell'ampiezza di transizione porta alla probabilità di transizione:

\[ P_{i \to f}(t) = \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2\left(\frac{\Delta \omega t}{2}\right)}{\left(\frac{\Delta \omega}{2}\right)^2} \]

Questa relazione mostra un comportamento oscillatorio della probabilità, che diventa massima per \(\Delta \omega = 0\), cioè alla risonanza perfetta. La larghezza del picco è inversamente proporzionale al tempo di osservazione \(t\).

Legame tra Vita Media e Probabilità

La probabilità di transizione totale verso un insieme di stati finali porta al tasso di decadimento \(\Gamma\), che è collegato alla vita media dello stato eccitato tramite:

\[ \tau = \frac{1}{\Gamma} \]

La larghezza di riga associata, in termini di energia, è data da:

\[ \Delta E = \hbar \Gamma \]

Questa relazione, basata sul principio di indeterminazione, è fondamentale per descrivere processi di decadimento e fenomeni di spettroscopia.

Applicazioni

La teoria delle probabilità di transizione trova applicazioni in molte aree della fisica teorica e applicata:

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