Problemi Unidimensionali in Meccanica Quantistica

Molti dei problemi introduttivi in meccanica quantistica sono unidimensionali. Nonostante la semplicità, questi scenari offrono un quadro chiaro dei concetti fondamentali: quantizzazione, stati legati, coefficienti di trasmissione e riflessione, e comportamento asintotico delle funzioni d’onda. Pur senza eseguire i calcoli nel dettaglio, è utile comprendere il significato e le caratteristiche dei problemi più tipici.

Particella libera o \( V = \text{costante} \)

Se il potenziale è costante, ad esempio \( V(x)=0 \), la particella non avverte alcuna forza. L’equazione di Schrödinger diventa quella di una libera propagazione di un’onda piana: \[ \psi(x,t) \sim e^{i(kx-\omega t)}, \] con \(\hbar k = p\) e \(\hbar \omega = E\). Non vi sono stati legati o quantizzati, ma un intero continuo di soluzioni. In questo caso, energia e impulso possono assumere qualsiasi valore. La densità di probabilità è tipicamente uniforme o variabile, ma non confinata. La particella libera non ha livelli energetici discreti, bensì uno spettro continuo.

Gradino di potenziale

Consideriamo un potenziale a gradino: \(V(x)=0\) per \(x<0\) e \(V(x)=V_0\) per \(x\geq 0\). Una particella incidente sul gradino può essere parzialmente riflessa e parzialmente trasmessa. Se \(E < V_0\), la particella non può propagarsi nella regione con \(V(x)=V_0\) (come onda libera), ma nel migliore dei casi può penetrare solo esponenzialmente (evanescenza) in quella zona. Se \(E > V_0\), esiste una probabilità non nulla che la particella passi oltre il gradino. Questo scenario illustra chiaramente l’assenza di una barriera insuperabile come nella meccanica classica: la transizione da propagazione libera a propagazione modificata dal potenziale genera riflessione e parziale trasmissione.

Barriera di potenziale

La barriera è una generalizzazione del gradino. Se abbiamo una regione (ad esempio per \(0V_0\), la particella può superare la barriera, ma con coefficienti di riflessione e trasmissione che dipendono dal rapporto fra energia e altezza della barriera, e dalla sua larghezza \(a\).

Buca di potenziale a pareti infinite

Nel caso di una buca infinita, ad esempio \(V(x)=0\) per \(0

Buca di potenziale a pareti finite

Se la buca ha pareti di altezza finita \(V_0\) invece di essere infinite, le soluzioni all’interno della buca sono ancora simili a onde sinusoidali, ma fuori dalla buca la funzione d’onda non è del tutto nulla: cala esponenzialmente, indicando che la particella può “percepire” le pareti anche dall’esterno. Questo rende possibile l’effetto del tunneling dall’interno della buca verso l’esterno. Si ottengono ancora stati legati discreti (con energia \(E < V_0\)), ma anche la possibilità, per particelle con energia \(E>V_0\), di sfuggire. I livelli energetici sono modificati rispetto alla buca infinita, e le funzioni d’onda non sono più esattamente nulle alle pareti, ma hanno condizioni di raccordo deterministiche.

Alla Lavagna

Significato Fisico

Questi problemi 1D mostrano i concetti chiave della meccanica quantistica: quantizzazione dell’energia, stati legati, stati di scattering, effetto tunneling, riflessione e trasmissione non classiche. Sono fondamentali per costruire l’intuizione su come gli stati quantistici si comportino in potenziali semplici, e servono come modelli per sistemi più complessi in dimensioni superiori o con potenziali più articolati.

Dettagli Matematici e Passaggi Chiave

In ciascuno di questi problemi unidimensionali, la soluzione dell’equazione di Schrödinger (in una dimensione, supponiamo lungo l’asse \(x\)) si basa sulla stessa equazione fondamentale: \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x). \] Il procedimento tipico comprende i seguenti passi:

1. Identificare il potenziale \(V(x)\): La forma del potenziale determina il tipo di soluzioni e le condizioni al contorno. Ad esempio, per la particella libera \(V(x)=0\), per la buca infinita \(V(x)=0\) all’interno e \(V=\infty\) all’esterno, per la buca finita \(V(x)=-V_0\) in un intervallo e \(0\) altrove, ecc.
2. Riconoscere le regioni e le soluzioni locali: Si divide l’asse \(x\) in regioni dove \(V(x)\) è costante o ha una forma semplice, e si scrivono le soluzioni generali dell’equazione differenziale in ciascuna regione. Per esempio, in una regione con \(V(x)=V_0\) costante e \(E>V_0\), si ha: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = (E - V_0)\psi(x). \] Se definiamo \(k = \sqrt{2m(E - V_0)}/\hbar\), la soluzione generale è combinazione lineare di \(e^{ikx}\) ed \(e^{-ikx}\). Se invece \(E
3. Imporre condizioni al contorno e di continuità: Le funzioni d’onda devono essere ben definite (finite, continue, con derivate continue) e normalizzabili. Ad esempio, nella buca infinita tra \(0\) e \(L\) con pareti a potenziale infinito, la condizione \(\psi(0)=0\) e \(\psi(L)=0\) impone che le soluzioni siano del tipo \(\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\) con \(E_n=\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2mL^2}\). Nella buca finita, invece, si impongono condizioni di raccordo della funzione d’onda e della sua derivata alle interfacce del potenziale, generando equazioni trascendenti da cui derivano i livelli energetici discreti.
4. Determinare i coefficienti di trasmissione e riflessione (per problemi di scattering): Per la particella libera che incontra un gradino o una barriera, l’approccio tipico è assumere un’onda incidente da sinistra (\(\psi_{\text{inc}}\sim e^{ikx}\)) e poi scrivere nella regione a sinistra una combinazione di onda incidente e riflessa (\(\psi_{\text{sin}} = e^{ikx}+R e^{-ikx}\)), mentre nella regione a destra un’onda trasmessa (\(\psi_{\text{des}}=T e^{iqx}\), con \(q=\sqrt{2m(E - V_0)}/\hbar\) se \(E>V_0\)). Imporre continuità di \(\psi\) e \(\psi'\) all’interfaccia determina i rapporti \(R\) e \(T\) (coefficiente di riflessione e trasmissione). Questo permette di calcolare la probabilità di passare oltre il gradino o la barriera (tunneling) o essere riflessi.
5. Analizzare i risultati fisici: Da questi passaggi emerge come in un problema 1D la quantizzazione (come nella buca infinita) o il fenomeno di tunneling (nella barriera) non abbiano analoghi classici. Il caso della particella libera mostra che senza confinamento non c’è quantizzazione di energia. Il gradino e la barriera evidenziano il fenomeno del tunneling e la non impossibilità di superare ostacoli energetici anche se \(E < V_0\), almeno con una certa probabilità.

In sintesi, i problemi unidimensionali offrono un laboratorio concettuale in cui i passaggi matematici — dalla scelta di un potenziale, alla soluzione dell’equazione differenziale in ciascuna regione, all’applicazione di condizioni al contorno e matching delle funzioni d’onda — portano a risultati fisici fondamentali: quantizzazione, tunneling, stati legati, e scattering. Pur senza eseguire integralmente i calcoli, è importante comprendere questa procedura standard, poiché verrà poi impiegata e generalizzata in sistemi più complessi e in dimensioni superiori.

Ulteriore Approfondimento sui Passaggi Matematici e il Ruolo del Matching delle Soluzioni

Quando si risolvono problemi unidimensionali, uno dei punti critici è come passare dal ragionamento qualitativo alla procedura matematica per ottenere le soluzioni. Se abbiamo un potenziale suddiviso in regioni (ad esempio, regione a sinistra, regione centrale, regione a destra), la funzione d’onda \(\psi(x)\) viene risolta separatamente in ciascuna regione, dove il potenziale è semplice (spesso costante). Alla lavagna, si possono evidenziare i seguenti passaggi:

1. Divisione in regioni e forma delle soluzioni locali:
   Disegna l’asse \(x\) e rappresenta il potenziale, ad esempio un gradino con \(\,V(x)=0\) per \(x<0\) e \(V(x)=V_0\) per \(x\geq 0\). Nella regione \(x<0\), con \(V=0\), l’equazione di Schrödinger si riduce a: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi. \] Se \(E>0\), la soluzione è \(\psi_{\text{sin}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\). Nella regione \(x\geq 0\), se \(E>V_0\), si ha: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = (E-V_0)\psi, \] con soluzioni anch’esse di tipo oscillatorio, \(\psi_{\text{des}}(x)=Ce^{iqx}+De^{-iqx}\). Se invece \(E
2. Condizioni al contorno e continuità:
   Il passo fondamentale è “matchare” le soluzioni alle interfacce tra le regioni. Imponi alla lavagna: \[ \psi_{\text{sin}}(0)=\psi_{\text{des}}(0), \quad \text{e} \quad \frac{d\psi_{\text{sin}}}{dx}\bigg|_{x=0} = \frac{d\psi_{\text{des}}}{dx}\bigg|_{x=0}. \] Questo garantisce la continuità della funzione d’onda e della sua derivata (necessarie per avere soluzioni fisicamente ammissibili, poiché il momento e le probabilità devono essere ben definiti). Risolvendo questi sistemi di equazioni, si determinano i rapporti \(R\) e \(T\) nel caso di scattering (gradino, barriera) o i valori di \(E_n\) nel caso di stati legati (buca infinita o finita). Sulla lavagna, puoi mostrare un piccolo sistema di equazioni lineari: ad esempio, per il gradino, da \(\psi_{\text{sin}}(0)=\psi_{\text{des}}(0)\) e \(\psi_{\text{sin}}'(0)=\psi_{\text{des}}'(0)\), ottieni due equazioni in due incognite (ad esempio, i coefficienti A e B), risolvibili per trovare i rapporti di riflessione e trasmissione.
3. Significato dei coefficienti trovati:
   Nel caso di stati legati (buca infinita o finita), imporre le condizioni alle pareti e la normalizzabilità della soluzione porta a un’equazione di quantizzazione dei livelli energetici. Ciò significa che non tutte le energie sono permesse, ma solo quelle che soddisfano determinate condizioni trigonometriche o trascendenti. Sulla lavagna, puoi mostrare che per la buca infinita, la condizione \(\psi(0)=0\) e \(\psi(L)=0\) porta a sinusoidi che “ci stanno dentro” un numero intero di mezze lunghezze d’onda, da cui la formula \(E_n=\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2mL^2}\). Nel caso di gradino o barriera, i coefficienti di riflessione (R) e trasmissione (T) descrivono la probabilità che la particella rimbalzi indietro o passi oltre. La loro determinazione analitica mostra la differenza con la fisica classica (dove, ad esempio, senza energia sufficiente la particella non potrebbe superare una barriera). Alla lavagna, segnala come \(T\) può essere non zero anche se \(E
4. Estensioni a potenziali più complessi:
   Se il potenziale diventa più complicato, la stessa procedura concettuale si applica: suddividi l’asse in regioni dove puoi risolvere l’equazione con soluzioni note (sinusoidi, esponenziali), e poi collega le soluzioni tra una regione e l’altra applicando condizioni di continuità. Può diventare matematicamente complesso, ma il principio rimane lo stesso. Quando non è possibile risolvere analiticamente, si ricorre a metodi numerici o approssimazioni, ma il concetto chiave è sempre impostare l’equazione in ciascuna regione, poi “matchare” le soluzioni.

Così, questi problemi unidimensionali non solo forniscono esempi tangibili di fenomeni quantistici fondamentali (tunneling, quantizzazione dell’energia, riflessione e trasmissione non classiche), ma offrono una procedura standard per affrontare problemi più generali. La chiave è sempre: risolvere localmente, poi imporre condizioni di raccordo, infine interpretare fisicamente i risultati in termini di probabilità e comportamenti non intuitivi ma coerenti della meccanica quantistica.