Proprietà delle Autofunzioni

Nella meccanica quantistica, gli stati stazionari di un sistema con potenziale tempo-indipendente sono descritti da autofunzioni dell’operatore Hamiltoniano. Le autofunzioni (o autostati) \(\phi_n(\mathbf{r})\) associate agli autovalori di energia \(E_n\) presentano una serie di proprietà matematiche e fisiche fondamentali, che ne garantiscono la consistenza come base di espansione per soluzioni più generali dell’equazione di Schrödinger.

Hermiticità ed Ortogonalità

L’Hamiltoniano \(\hat{H}\) è un operatore hermitiano. Questo assicura che i suoi autovalori (le energie) siano reali e che le autofunzioni corrispondenti a autovalori diversi siano ortogonali tra loro. In pratica, se:

\[ \hat{H}\phi_m(\mathbf{r}) = E_m\phi_m(\mathbf{r}), \quad \hat{H}\phi_n(\mathbf{r}) = E_n\phi_n(\mathbf{r}), \] con \(E_m \neq E_n\), allora:

\[ \int \phi_m^*(\mathbf{r})\phi_n(\mathbf{r})\, d^3r = 0. \]

Questa ortogonalità è cruciale per costruire una base di stati che siano linearmente indipendenti.

Completezza e Normalizzazione

Le autofunzioni formano una base completa dello spazio degli stati fisicamente accessibili. Questo significa che qualsiasi funzione d’onda \(\psi(\mathbf{r}, t)\) può essere espansa come combinazione lineare (o integrale, se lo spettro è continuo) di autofunzioni:

\[ \psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n(t)\phi_n(\mathbf{r}), \] oppure, per uno spettro continuo: \[ \psi(\mathbf{r},t) = \int c(E,t)\phi_E(\mathbf{r})\, dE. \]

Inoltre, le autofunzioni possono sempre essere scelte normalizzate, cioè:

\[ \int \phi_n^*(\mathbf{r})\phi_n(\mathbf{r})\, d^3r = 1. \]

La normalizzazione garantisce che i coefficienti \(\{c_n(t)\}\) abbiano un’interpretazione probabilistica coerente.

Ortonormalità

L’ortogonalità e la normalizzazione insieme si condensano nel concetto di ortonormalità:

\[ \int \phi_m^*(\mathbf{r})\phi_n(\mathbf{r})\, d^3r = \delta_{mn}, \] dove \(\delta_{mn}\) è il delta di Kronecker, pari a 1 se \(m=n\) e 0 altrimenti. Questa condizione rende le autofunzioni simili a vettori base in uno spazio vettoriale, che permettono di trattare i problemi quantistici con la familiarità dell’algebra lineare.

Alla Lavagna

1. Scrivi l’equazione di autovalore: \[ \hat{H}\phi_n(\mathbf{r}) = E_n \phi_n(\mathbf{r}). \]

2. Sottolinea che \(\hat{H}\) è hermitiano, quindi \(E_n \in \mathbb{R}\).

3. Considera due autofunzioni \(\phi_m\) e \(\phi_n\) con \(E_m \neq E_n\). Mostra l’ortogonalità: \[ \int \phi_m^*(\mathbf{r}) \phi_n(\mathbf{r}) d^3r = 0. \]

4. Rendi unitari questi vettori normalizzandoli: \[ \int \phi_n^*(\mathbf{r}) \phi_n(\mathbf{r}) d^3r = 1. \] 5. Ora hai un set di funzioni ortonormali che può fungere da base. Qualsiasi \(\psi(\mathbf{r},t)\) si scrive come combinazione delle \(\{\phi_n\}\).

Degenerazione e Unitarietà delle Trasformazioni

Se un dato autovalore \(E_n\) è associato a più di un’autofunzione linearmente indipendente (degenerazione), è possibile formare una combinazione lineare di queste autofunzioni degenerate per ottenere nuove autofunzioni che restano autofunzioni di \(\hat{H}\) con la stessa energia. Questo permette una libertà di scelta nella base degli stati degeneri, ed è spesso sfruttato per ottenere autofunzioni con altre simmetrie o proprietà desiderate.

Significato Fisico

Le autofunzioni dell’Hamiltoniano rappresentano gli stati stazionari del sistema, ciascuno con una specifica energia. Poiché costituiscono una base ortonormale completa, l’intera evoluzione temporale di qualsiasi stato quantistico può essere compresa analizzando la sua decomposizione in queste autofunzioni. La loro ortonormalità e completezza sono quindi alla base della struttura matematica della meccanica quantistica, consentendo di trattare problemi complessi in modo sistematico e coerente.

Degenerazione e Scelta della Base nelle Sub-spazi Degeneri

Quando un autovalore \(E_n\) dell’Hamiltoniano è degenero, significa che esistono più autofunzioni corrispondenti a quello stesso valore di energia. Supponiamo di avere due o più funzioni \(\phi_{n,1}(\mathbf{r}), \phi_{n,2}(\mathbf{r}), \dots\) tutte soddisfacenti:

\[ \hat{H}\phi_{n,k}(\mathbf{r}) = E_n \phi_{n,k}(\mathbf{r}), \quad k=1,2,\dots,d \] dove \(d\) è il grado di degenerazione. Queste funzioni sono tra loro ortonormali o possono essere resi tali con un processo di ortonormalizzazione (ad esempio, il metodo di Gram-Schmidt). Tuttavia, poiché appartengono tutte allo stesso autovalore, è possibile formare combinazioni lineari di queste autofunzioni che restano autofunzioni con lo stesso valore di energia. Questo introduce una libertà nella scelta della base nel sottospazio degenerato.
  1. Alla lavagna: scelta della base degenerata
    Disegna un diagramma che rappresenti uno “spazio” degli stati degeneri associati all’energia \(E_n\). Questo sottospazio di dimensione \(d\) è come un piccolo spazio vettoriale all’interno dello spazio di Hilbert. Mostra che se \(\{\phi_{n,1}, \phi_{n,2}, \dots, \phi_{n,d}\}\) è un insieme di autofunzioni degeneri, qualunque combinazione lineare: \[ \tilde{\phi}_{n,j}(\mathbf{r}) = \sum_{k=1}^d U_{jk}\phi_{n,k}(\mathbf{r}) \] con \(U_{jk}\) elementi di una matrice unitaria, fornirà un nuovo insieme di autofunzioni degeneri. Sulla lavagna, spiega che poiché \(\hat{H}\) agisce con lo stesso autovalore \(E_n\) su ciascuna \(\phi_{n,k}\), agirà allo stesso modo sulla loro combinazione, lasciandone invariata l’energia.
  2. Interpretazione fisica della degenerazione
    La degenerazione riflette la presenza di simmetrie nel sistema. Se il potenziale è simmetrico, diverse funzioni d’onda possono avere la stessa energia. Ad esempio, nell’atomo di idrogeno, l’energia dipende solo dal numero quantico principale \(n\), non da \(l\) o \(m\). Questo genera degenerazione, e significa che si può scegliere linearmente come combinare gli stati degeneri per ottenere funzioni con diverse proprietà di simmetria o convenienti per descrivere determinati fenomeni (ad esempio, stati con momenti angolari definiti in una certa direzione, oppure stati misti che riflettono certe invarianti del problema).
  3. Unità delle Trasformazioni nel sottospazio degenerato
    La libertà di scelta della base degenerata è descritta da un gruppo unitario di trasformazioni all’interno di questo sottospazio. Questo significa che se due ricercatori scelgono due insiemi diversi di autofunzioni degeneri, questi insiemi saranno legati da una trasformazione unitaria. Sulla lavagna, sottolinea che: \[ \tilde{\phi}_{n,j}(\mathbf{r}) = \sum_{k=1}^d U_{jk}\phi_{n,k}(\mathbf{r}) \] dove \(U\) è una matrice unitaria (\(U^\dagger U = I\)). Ciò garantisce che le proprietà fisiche non dipendono dalla scelta della base nel sottospazio degenerato, rendendo la teoria coerente e indipendente da arbitrarie scelte matematiche.
  4. Conseguenze sulla completezza:
    Poiché le autofunzioni (degeneri o non degeneri) formano una base completa, qualunque soluzione \(\psi(\mathbf{r},t)\) dell’equazione di Schrödinger può essere espansa in tale base. La degenerazione non compromette la completezza: significa solo che lo stesso autovalore energetico è “riempito” da più funzioni indipendenti. Alla lavagna, rappresenta lo spazio degli stati come un grande vettore: la presenza di degenerazione significa che più vettori base puntano nella stessa “direzione energetica” ma in dimensioni diverse di quel sottospazio. Questa ricchezza interna consente di rappresentare lo stato quantistico in modi diversi, a seconda delle esigenze del problema da risolvere (ad esempio, stati con definite componenti di momento angolare oppure stati ibridi più convenienti per certi calcoli).

Chiarimenti sui Concetti: Ortogonalità, Base Ortonormale, Caso Degenere, Dipendenza Temporale dei Coefficienti e Soluzione Generale

Quando si introducono le autofunzioni dell’Hamiltoniano, ci si ritrova con una serie di concetti matematici (ortogonalità, normalizzazione, degenerazione, sviluppo in autofunzioni) che non sono meramente formali, ma hanno un significato fisico ben preciso. Alla lavagna, possiamo riorganizzare questi concetti per comprendere a fondo perché sono essenziali nella meccanica quantistica.

  1. Ortogonalità e Base Ortonormale:
    Sappiamo che le autofunzioni \(\{\phi_n(\mathbf{r})\}\) corrispondenti ad autovalori di energia differenti \((E_n \neq E_m)\) sono ortogonali: \[ \int \phi_m^*(\mathbf{r})\phi_n(\mathbf{r})\, d^3r = 0 \quad (m \neq n). \] Non solo, possiamo sempre scegliere queste funzioni in modo che siano anche normalizzate a 1: \[ \int \phi_n^*(\mathbf{r}) \phi_n(\mathbf{r})\, d^3r = 1. \] Questo rende l’insieme \(\{\phi_n\}\) una base ortonormale. Alla lavagna, sottolinea l’importanza dell’ortonormalità: come i vettori ortonormali in uno spazio vettoriale, queste autofunzioni consentono di rappresentare qualunque stato quantistico come una combinazione lineare di stati base semplici da maneggiare. I coefficienti di questa combinazione hanno interpretazioni probabilistiche (le probabilità di trovare il sistema in uno degli autostati, se misurassimo l’energia).
  2. Caso Degenere:
    Se un dato valore di energia \(E_n\) è condiviso da più autofunzioni linearmente indipendenti, diciamo \(\phi_{n,1}(\mathbf{r}), \phi_{n,2}(\mathbf{r}), \dots\), allora si parla di degenerazione. Spiega che la degenerazione significa che non c’è un’unica funzione d’onda associata a quell’energia, bensì un intero sottospazio di dimensione pari al grado di degenerazione. Puoi scegliere come preferisci la base all’interno di questo sottospazio, poiché qualsiasi combinazione lineare tra queste autofunzioni degeneri rimane un’autofunzione dell’Hamiltoniano con la stessa energia. Questo è importante, perché permette di scegliere funzioni con certe simmetrie o proprietà aggiuntive, oppure di semplificare calcoli. Il sistema mantiene la stessa fisica, ma la rappresentazione matematica può essere adattata al problema specifico.
  3. Dipendenza Temporale dei Coefficienti:
    Considera uno stato quantistico arbitrario \(\psi(\mathbf{r},t)\). Poiché le autofunzioni \(\{\phi_n(\mathbf{r})\}\) formano una base completa, possiamo scrivere: \[ \psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n(t)\phi_n(\mathbf{r}). \] Quando il potenziale non dipende dal tempo, gli stati stazionari hanno una semplice dipendenza temporale \(\phi_n(\mathbf{r})e^{-iE_n t/\hbar}\). In tal caso, i coefficienti \(c_n(t)\) diventano costanti nel tempo se \(\psi(\mathbf{r},0)\) è data, poiché tutto il tempo è raccolto nei fattori di fase \(e^{-iE_n t/\hbar}\). Se invece il potenziale è tempo-dipendente, i coefficienti \(c_n(t)\) devono soddisfare equazioni differenziali più complicate. Dal punto di vista concettuale, significa che l’energia non è più una costante e lo stato si evolve in modo non banale.
  4. Soluzione Generale e Significato Fisico:
    Metti alla lavagna la formula generale della soluzione: \[ \psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n \phi_n(\mathbf{r})e^{-iE_n t/\hbar} \quad (\text{potenziale tempo-indipendente}). \] Questa è la soluzione generale dell’equazione di Schrödinger in un caso semplice. Evidenzia come, conoscendo gli autostati e gli autovalori dell’Hamiltoniano, qualsiasi stato iniziale può essere sviluppato in questa base. Il tempo entra in modo trasparente come fattore di fase \(-iE_n t/\hbar\). Ciò permette di comprendere ogni fenomeno quantistico in termini di combinazioni e sfasamenti nel tempo di questi autostati fondamentali. Se il potenziale è tempo-dipendente, la formula diventa più complessa, i \(\phi_n(\mathbf{r})\) possono cambiare nel tempo o si possono introdurre basi istantanee, e i coefficienti \(c_n(t)\) diventano funzioni del tempo che devono essere determinate caso per caso.

In sintesi, i concetti di ortogonalità e normalizzazione garantiscono la solidità matematica della base di autostati. La degenerazione introduce una flessibilità nella scelta della base, mentre la dipendenza temporale dei coefficienti (e quindi della funzione d’onda generale) consente di descrivere un’ampia gamma di evoluzioni del sistema. Queste proprietà combinano rigore matematico con interpretazioni fisiche profonde, rendendo le autofunzioni e i loro autovalori di energia strumenti indispensabili per analizzare e prevedere il comportamento quantistico di un sistema.

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