Teoria Perturbativa Dipendente dal Tempo

Problema dinamico: teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo

Introduzione: schema del problema dinamico nelle perturbazioni dipendenti dal tempo.

Il problema dinamico nelle perturbazioni dipendenti dal tempo
Quando l’Hamiltoniana del sistema $ \hat{H}(t) $ dipende esplicitamente dal tempo, la meccanica quantistica ci richiede di seguire l’evoluzione temporale dello stato piuttosto che risolvere semplicemente un problema di autovalori. La domanda centrale è: se preparo il sistema nello stato iniziale $ |\psi_i\rangle $, qual è la probabilità di trovarlo in uno stato finale $ |\psi_f\rangle $ dopo che la perturbazione è “passata”?

Hamiltoniana generale:

$ \hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \lambda \hat{V}(t) $

dove:

$ \hat{H}_0 $: parte libera, solubile, con autostati $ |\psi_n\rangle $
$ \hat{V}(t) $: perturbazione (tempo-dipendente)
$ \lambda $: parametro per sviluppo perturbativo

Schema temporale del problema:

t < 0               0 < t < τ                t > τ
─────────────┬──────────────────────┬───────────────
 Evoluzione  |   Perturbazione      | Evoluzione
 con H₀      |   attiva (H₀+V(t))   | con H₀
─────────────┴──────────────────────┴───────────────
 |ψ_i⟩         |Ψ(t)⟩ (stato evoluto)   |ψ_f⟩ ?

Interpretazione degli integrali (dove si trova $ t' $?)
Quando si calcola l’ampiezza di transizione o la probabilità di passare da uno stato all’altro,

L’integrale $ \int_0^t dt' $ rappresenta una “somma” degli effetti della perturbazione durante tutto il tempo in cui è stata accesa (da 0 fino all’istante di osservazione $ t $).
La variabile $ t' $ (diversa dal tempo attuale $ t $) indica un “tempo interno” di integrazione: per ogni possibile momento in cui la perturbazione ha agito, si accumula il contributo corrispondente.
Nel minischema temporale sopra, $ t' $ “scorre” da quando accendo la perturbazione (0) fino a dove la osservo ($ t \leq \tau $). Se guardo dopo che la perturbazione è spenta ($ t > \tau $), l’integrale si ferma a $ \tau $.

Ad esempio:
$ c_f^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^{t} dt' \, V_{fi}(t')\, e^{i\omega_{fi}t'} $
dove ogni “contributo” all’integrale viene accumulato per tutti gli istanti in cui la perturbazione è attiva.

In sintesi:

La teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo permette di calcolare come la probabilità di transizione tra stati quantistici evolva quando una perturbazione viene attivata solo per un intervallo di tempo limitato.
La presenza dell’integrale in $ t' $ “conta” tutti i possibili istanti in cui la perturbazione ha agito.
Questo schema e questa notazione saranno usati in tutte le formule successive (vedi immagini/sequenze seguenti).

Equazioni base teoria perturbativa dipendente dal tempo

Teoria perturbativa dipendente dal tempo: introduzione al problema dinamico, formalismo e metodo delle variazioni delle costanti.

Introduzione al problema:
Quando studiamo un sistema quantistico soggetto a una perturbazione temporale (ad esempio, un atomo su cui agisce un campo esterno solo per un tempo finito), l’Hamiltoniana dipende dal tempo:

$ H(t) = H_0 + \lambda V(t) $

Dove $ H_0 $ è l’hamiltoniana “libera” e $ V(t) $ la perturbazione (attiva solo per un intervallo finito di tempo).

Equazione di Schrödinger: L’evoluzione dello stato $ |\Psi(t)\rangle $ è data da:

$ i\hbar \frac{d}{dt} |\Psi(t)\rangle = H(t) |\Psi(t)\rangle $

Il problema è trovare la probabilità che, dopo aver agito la perturbazione, il sistema sia passato da uno stato iniziale $ |\varphi_i\rangle $ a uno stato finale $ |\varphi_f\rangle $.

Sviluppo sulla base degli autostati di $ H_0 $: Siccome $ H_0 $ ha spettro discreto ($ H_0|\varphi_k\rangle = E_k|\varphi_k\rangle $), ogni stato può essere scritto come combinazione lineare dei suoi autostati:

$ |\Psi(t)\rangle = \sum_k c_k(t) e^{-i E_k t/\hbar} |\varphi_k\rangle $

Qui i coefficienti $ c_k(t) $ diventano variabili nel tempo.

Metodo delle variazioni delle costanti:
Invece di risolvere l’equazione di Schrödinger direttamente per $ |\Psi(t)\rangle $, si trasforma il problema in uno sulle costanti (i coefficienti $ c_k(t) $) che ora diventano funzioni del tempo, perché la perturbazione fa sì che la probabilità di trovarsi in ciascun autostato di $ H_0 $ possa cambiare:

$ |\Psi(t)\rangle = \sum_k c_k(t) e^{-i E_k t/\hbar} |\varphi_k\rangle $

Questo metodo si chiama “variazione delle costanti” perché i coefficienti $ c_k $, costanti per il sistema non perturbato, diventano funzioni del tempo per il sistema perturbato.
Sostituendo questa forma nell’equazione di Schrödinger, si ottiene un sistema di equazioni differenziali per i $ c_k(t) $, che saranno risolte usando la teoria perturbativa per piccoli $ \lambda $.

Pulsazione di Bohr: La differenza di energia tra due autostati è associata a una frequenza:

$ \omega_{nk} = \frac{E_n - E_k}{\hbar} $

Timeline (schema in basso):
Il diagramma in basso mostra che il sistema parte nello stato iniziale $ |\varphi_i\rangle $, subisce la perturbazione per $ 0 < t < \tau $, e a $ t > \tau $ si evolve liberamente con $ H_0 $, permettendoci di calcolare la probabilità di trovarsi nello stato finale $ |\varphi_f\rangle $.

Probabilità di transizione, proiezione su stato finale

Calcolo della probabilità di transizione tra stati in presenza di perturbazione temporale.

Probabilità di transizione dopo la perturbazione:
Dopo che la perturbazione $ V(t) $ è stata spenta (cioè per tempi $ t > \tau $), lo stato del sistema può essere sviluppato sugli autostati finali della Hamiltoniana non perturbata. La proiezione sullo stato finale $ |\varphi_f\rangle $ è:

$ \langle \varphi_f | \Psi(t) \rangle = c_f(t)\, e^{-i E_f t/\hbar} $

Da cui la probabilità di trovarsi nello stato finale risulta:

$ P_{i \rightarrow f}(t) = |\langle \varphi_f | \Psi(t) \rangle|^2 = |c_f(t)|^2 $

Questo valore è esatto se si conoscesse la soluzione esatta per ogni istante, ossia il coefficiente $ c_f(t) $ dopo l’evoluzione completa.

Approssimazione perturbativa al primo ordine:
Se la perturbazione è sufficientemente debole, possiamo sviluppare $ c_f(t) $ al primo ordine:

$ c_f^{(1)}(t) \approx \frac{1}{i\hbar} \int_{0}^{t} dt'\, V_{fi}(t')\, e^{i\omega_{fi} t'} $

Significato dei limiti nell’integrale:
L’integrale va da 0 a $ t $: cioè sommo (accumulo) gli effetti della perturbazione su tutti gli istanti intermedi in cui è attiva, pesando ogni contributo tramite una fase oscillante che tiene conto della differenza di energia tra stato iniziale e finale. La variabile di integrazione $ t' $ rappresenta il “momento” in cui la perturbazione agisce.
Il risultato fisicamente rappresenta quanto la perturbazione, agendo tra 0 e t, ha “trasferito” popolazione dallo stato iniziale a quello finale.
Definizione dei simboli:

$ V_{fi}(t) = \langle \varphi_f | V(t) | \varphi_i \rangle $: elemento di matrice della perturbazione (il “peso” con cui la perturbazione collega gli stati $i$ e $f$)
$ \omega_{fi} = (E_f - E_i)/\hbar $: pulsazione di Bohr (frequenza caratteristica della transizione)

La probabilità di transizione (al primo ordine) sarà:

$ P_{i \rightarrow f}(t) \approx \left| \frac{1}{i\hbar} \int_0^t dt' \, V_{fi}(t') \, e^{i\omega_{fi} t'} \right|^2 $

Condizione: Questa formula vale solo tra stati diversi, cioè $ |\varphi_f\rangle \neq |\varphi_i\rangle $.

Interpretazione fisica:
La probabilità di transizione è data dal modulo quadro di un integrale che “accumula” tutti gli effetti della perturbazione nel tempo, ognuno ponderato da una fase (relativa alla differenza di energia dei due livelli). Questa è la base di tutta la teoria delle transizioni indotte e conduce alle formule più avanzate come la regola d’oro di Fermi (caso continuo) e a tutti i casi particolari di perturbazione (costante, periodica, impulsiva…).

Transizione con perturbazione periodica: formula generale

Calcolo esplicito della probabilità di transizione per perturbazione periodica.

Perturbazione periodica e formula di transizione:
Consideriamo il caso in cui la perturbazione sia periodica, ad esempio:
$ V(t) = V_{fi} \sin(\omega t) $
dove $\omega$ è la frequenza della perturbazione esterna che possiamo variare sperimentalmente (ad esempio, la frequenza di un campo elettromagnetico applicato all’atomo).

Dal primo ordine della teoria perturbativa si trova:

$ c_f^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t dt' \, V_{fi}(t') \, e^{i\omega_{fi} t'} $

Sostituendo la perturbazione periodica (e usando la rappresentazione in termini di esponenziali), otteniamo:

$ V_{fi} \sin(\omega t') = \frac{V_{fi}}{2i}\left(e^{i\omega t'} - e^{-i\omega t'}\right) $

Portando tutto dentro l’integrale e risolvendo, si arriva a:

$ c_f^{(1)}(t) = \frac{V_{fi}}{2\hbar} \left[ \frac{1 - e^{i(\omega_{fi}+\omega)t}}{\omega_{fi}+\omega} - \frac{1 - e^{i(\omega_{fi}-\omega)t}}{\omega_{fi}-\omega} \right] $

La probabilità di transizione è quindi:

$ P_{i \rightarrow f}(t) = \left| \frac{V_{fi}}{2\hbar} \left[ \frac{1 - e^{i(\omega_{fi}+\omega)t}}{\omega_{fi}+\omega} - \frac{1 - e^{i(\omega_{fi}-\omega)t}}{\omega_{fi}-\omega} \right] \right|^2 $

(Nota: spesso nella scrittura compatta, il modulo quadro si applica a tutto il termine tra parentesi, non solo ai denominatori! La scrittura 1/4\hbar^2 che vedi sulla lavagna è corretta solo se il modulo quadro si prende dopo aver raccolto tutti i termini; qui la forma standard e più chiara per chi studia è quella sopra.)

Significato fisico:
- Ogni termine rappresenta un possibile processo di assorbimento o emissione di energia:

$\omega_{fi}+\omega$: “antirisonanza” (di solito trascurata se $\omega$ è molto più grande di $\omega_{fi}$).
$\omega_{fi}-\omega$: “risonanza” vera e propria, il termine che domina quando $\omega \approx \omega_{fi}$.

- Al crescere del tempo, la probabilità di transizione mostra picchi di risonanza quando la frequenza della perturbazione coincide con quella richiesta dalla differenza energetica dei livelli.
Nei grafici tipici:

Asse x: la frequenza esterna $\omega$ (quella che scegli sperimentalmente).
Asse y: la probabilità di transizione $P_{i \rightarrow f}(t)$ (o il massimo raggiunto nel tempo fissato).

- Il picco in corrispondenza di $\omega \approx \omega_{fi}$ indica assorbimento risonante; la larghezza del picco dipende dal tempo di osservazione e dalla durata dell’impulso.
Questa formula è la base per: regola d’oro di Fermi, spettroscopia atomica, fenomeni di assorbimento e emissione stimolata.

Probabilità di transizione per perturbazione costante e funzione di tipo diffrattivo

Calcolo esplicito della probabilità di transizione nel caso di perturbazione costante (step function) e connessione con la funzione diffrattiva.

Teoria perturbativa e formula generale:
Consideriamo $ H = H_0 + V(t) $ e una perturbazione costante $ V(t) = V $ per $ 0 < t < \tau $.

Al primo ordine, il coefficiente di transizione (da stato iniziale $ |i\rangle $ a stato finale $ |f\rangle $) è:

$ c_f^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t dt' V_{f i} e^{i\omega_{fi} t'} $

Risolvendo l’integrale otteniamo:

$ c_f^{(1)}(t) = \frac{V_{f i}}{\hbar} \frac{1 - e^{i\omega_{fi} t}}{\omega_{fi}} $

La probabilità di transizione è il modulo quadro:

$ P_{i \rightarrow f}(t) = |c_f^{(1)}(t)|^2 = \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2} \left| \frac{1 - e^{i\omega_{fi} t}}{\omega_{fi}} \right|^2 $

Forma diffrattiva:
Questa quantità può essere riscritta come:

$ P_{i \rightarrow f}(t) = \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2(\omega_{fi} t/2)}{(\omega_{fi}/2)^2} $

che rappresenta una funzione di tipo “diffrattivo” (tipo sinc), che per tempi lunghi si stringe attorno a $ \omega_{fi} \approx 0 $ (cioè quando $ E_f \approx E_i $).

Funzione di finestra $ F(t, \omega_{fi}) $:
Nella formula della lavagna viene introdotta

$ F(t, \omega_{fi}) = \left| \frac{\sin(\omega_{fi} t/2)}{\omega_{fi}/2} \right|^2 $

che caratterizza la selettività della transizione in energia.

Fisica:
- Per $ t \to \infty $, la funzione tende a una delta di Dirac e permette di selezionare solo i livelli con $ E_f = E_i $ (conservazione dell’energia).
- Per tempi finiti, c’è una larghezza finita ($ \Delta \omega $) dovuta all’indeterminazione temporale.
- Questa struttura è fondamentale per la derivazione della regola d’oro di Fermi e per descrivere la larghezza delle righe spettrali.

Perturbazione periodica vs costante, casi risonanti, antirisonanti e funzione F

Caso di perturbazione periodica: confronto tra risonanza e antirisonanza, e forma della funzione finestra.

Perturbazione periodica e probabilità di transizione:
Qui si analizza la probabilità di transizione $ P_{i \to f}(t) $ per una perturbazione periodica $ V(t) = V_{fi} e^{i\omega t} $, mettendo a confronto il caso di perturbazione costante.

Sulla lavagna troviamo due casi principali:

(a) $ \omega \approx \omega_{fi} $ (risonante): la frequenza della perturbazione coincide con la differenza energetica tra i due livelli (assorbimento indotto).
(b) $ \omega \approx -\omega_{fi} $ (antirisonante): la perturbazione compensa esattamente la differenza energetica in senso opposto (emissione indotta).

In entrambi i casi, la probabilità di transizione viene scritta come:

$ P_{i \to f}(t) \simeq \frac{|V_{fi}|^2}{4\hbar^2} F(t, \omega \pm \omega_{fi}) $

dove $ F(t, x) $ è la funzione di finestra/diffrattiva vista prima:

$ F(t, \omega \pm \omega_{fi}) = |A_\pm|^2 $

con $ A_+ $ dominante in risonanza, $ A_- $ dominante in antirisonanza.

FISICA:
- In regime risonante, la probabilità cresce rapidamente, mentre in regime antirisonante è molto più piccola (termine “antiris.”).
- Questi casi rappresentano rispettivamente assorbimento indotto (caso a) e emissione indotta (caso b), fondamentali nella spettroscopia e nell’interazione radiazione-materia.

Conclusione:
La funzione $ F(t, \omega \pm \omega_{fi}) $ determina la selettività in frequenza (energia) delle transizioni, mostrando un picco netto quando la frequenza della perturbazione è in risonanza con la differenza energetica tra livelli.

Trasformata di finestra, picco di risonanza, larghezza e analisi grafica

Analisi della funzione trasformata di finestra $ F(t, \omega-\omega_{fi}) $, la condizione diffrattiva, la risonanza e la larghezza in frequenza.

Analisi grafica della trasformata di finestra:
L’immagine mostra il comportamento della funzione $ F(t, \omega-\omega_{fi}) $ che determina la probabilità di transizione per una perturbazione costante (o periodica). Questa funzione, detta anche funzione diffrattiva o trasformata di finestra, governa la selettività in frequenza delle transizioni indotte.

Dettagli chiave:

La funzione $ F(t, \omega-\omega_{fi}) $ è data da:
$ F(t, \omega-\omega_{fi}) = \left[ \frac{\sin\big((\omega-\omega_{fi})t/2\big)}{(\omega-\omega_{fi})/2} \right]^2 $
Il denominatore corretto è proprio $ (\omega-\omega_{fi})/2 $ (e non $ \hbar $ o $ 4\hbar^2 $).
Il picco centrale si trova esattamente in corrispondenza della frequenza di Bohr ($ \omega_{fi} $), cioè la differenza energetica tra i due livelli.
La larghezza del picco (“larghezza diffrattiva”) è legata all’intervallo di tempo $ t $ durante il quale la perturbazione agisce:
$ \Delta\omega \approx \frac{4\pi}{t} $
(Come mostrato a destra nella lavagna).
Condizione diffrattiva: Per tempi di osservazione brevi, il picco è largo: la transizione non seleziona bene l’energia. Per tempi lunghi, il picco si restringe e la funzione tende a una delta di Dirac centrata su $ \omega_{fi} $.
Questo andamento rappresenta una manifestazione diretta del principio di indeterminazione tempo-energia: maggiore è il tempo di osservazione, minore l’incertezza sulla frequenza (o energia).
Nel grafico:
- L’asse $ x $ rappresenta la frequenza della perturbazione ($ \omega $),
- L’asse $ y $ la probabilità relativa di transizione (proporzionale a $ F $).

In sintesi: La funzione $ F(t, \omega-\omega_{fi}) $ agisce come un filtro di selezione energetica: solo quando la frequenza della perturbazione corrisponde a quella di Bohr (cioè al salto energetico del sistema) la probabilità di transizione è massima. Questo concetto è centrale nella spettroscopia e nella regola d’oro di Fermi: per tempi molto lunghi, la trasformata di finestra si comporta come una delta di Dirac, selezionando solo le transizioni risonanti.

Condizioni di validità della perturbazione periodica e momento angolare

Validità dell’approssimazione perturbativa e regole di selezione per il momento angolare.

Condizioni di validità della probabilità di transizione:
In questa immagine vengono riassunti i criteri che permettono di applicare la teoria perturbativa al primo ordine.

Regime di validità temporale: La probabilità di transizione indotta da una perturbazione periodica cresce inizialmente come
$ P_{i\to f}^{(1)}(t) \sim |V_{fi}|^2\, t^2 / (4\hbar^2) $
Questo è il massimo che si può ottenere al primo ordine: dev’essere molto minore di 1 affinché la serie perturbativa converga e resti fisicamente sensata.
Condizione:
$ |V_{fi}|^2\, t^2 / (4\hbar^2) \ll 1 \quad\Rightarrow\quad t \ll 2\hbar/|V_{fi}| $
Solo per tempi brevi rispetto all’inverso del “campo” indotto dalla perturbazione la formula perturbativa resta affidabile.
Larghezza diffrattiva e selettività in frequenza: Aumentando il tempo di osservazione, la funzione di probabilità (picco diffrattivo) si stringe:
$ \Delta\omega = \frac{4\pi}{t} $
Questa relazione, che ricorda il principio di indeterminazione, dice che più osserviamo a lungo, più selettiva è la risposta in energia (più precisa la misura della transizione risonante).
Validità dell’approssimazione risonante: Bisogna inoltre che la larghezza di ciascun picco sia molto minore della distanza tra i due massimi dovuti alla perturbazione (se è periodica). Questo garantisce che la transizione sia dominata solo dal termine risonante (cioè quando la frequenza della perturbazione corrisponde alla frequenza di Bohr del sistema).
Ruolo degli operatori di momento angolare: Una parte della lavagna riporta la struttura degli operatori di salita/discesa, cruciali per le regole di selezione (es. $ L^+ = L_x + iL_y $). Queste regole stabiliscono quali transizioni sono permesse tra i livelli quantici con diverso momento angolare ($ \Delta l = \pm 1 $, $ \Delta m = 0, \pm 1 $), fondamentali in spettroscopia atomica e per l’interazione con la radiazione.

In sintesi:
Tutta la fisica di questa pagina mostra che:

La teoria perturbativa è affidabile solo per tempi brevi e probabilità piccole.
Il tempo di osservazione regola la risoluzione energetica (indeterminazione tempo-energia).
Le transizioni possibili sono ulteriormente selezionate dalle regole del momento angolare.

Questo quadro è fondamentale per capire i limiti e le potenzialità della teoria perturbativa nelle transizioni indotte e nella spettroscopia atomica.

Grafico delle ampiezze in funzione della frequenza per perturbazione periodica

Spettro di transizione: assi per ampiezze di probabilità in funzione della frequenza.

Impostazione del grafico risonante:
Il disegno introduce gli assi del grafico che verrà completato nelle prossime immagini:

L’asse orizzontale rappresenta la frequenza $ \omega $ dell’onda perturbativa applicata.
Sull’asse verticale troviamo $ |A_+|^2 $ e $ |A_-|^2 $: sono le ampiezze di probabilità (al quadrato) per assorbimento o emissione stimolata.
I punti notevoli sono $ +\omega_{fi} $ e $ -\omega_{fi} $, che indicano dove avverranno i picchi risonanti (cioè le condizioni di risonanza per la transizione tra due livelli).
Le curve non sono ancora tracciate: qui si stanno preparando gli assi e i riferimenti per interpretare i picchi di probabilità nelle immagini successive.

Significato fisico: Questo grafico mostra che la probabilità di transizione non è distribuita su tutte le frequenze, ma presenta picchi selettivi in corrispondenza delle frequenze di Bohr ($ \pm \omega_{fi} $), che riflettono la “risonanza” quantistica.

Picchi risonanti e spettro in funzione della frequenza della perturbazione periodica

Picchi di probabilità di transizione indotti da una perturbazione periodica: regime di risonanza e condizione di separazione.

Interpretazione fisica del grafico:
In questo grafico sono rappresentate le ampiezze al quadrato $|A_+|^2$ e $|A_-|^2$ in funzione della frequenza $\omega$ dell’onda esterna applicata al sistema quantistico.

Si osservano due picchi molto netti: uno centrato in $\omega = +\omega_{fi}$, l’altro in $\omega = -\omega_{fi}$.
Ciascun picco ha larghezza finita $\Delta\omega$ (detta anche “larghezza naturale” dovuta a durata finita della perturbazione).
L’altezza unitaria ($|A_\pm|^2 = 1$) nei punti di risonanza indica la massima probabilità di transizione.
La condizione $2\omega_{fi} \gg \Delta\omega$ (scritta sulla lavagna) significa che i due picchi sono ben separati:
- Il sistema può distinguere nettamente tra processo di assorbimento e processo di emissione indotta.
- Le due transizioni non interferiscono tra loro (situazione tipica nei limiti di spettroscopia ad alta risoluzione).
La larghezza dei picchi è legata al tempo T di applicazione della perturbazione periodica:
$\Delta\omega = \frac{4\pi}{T}$
(Relazione di indeterminazione tempo-energia: più a lungo dura la perturbazione, più stretti sono i picchi di frequenza).

Collegamento al quadro generale:
Questa situazione si trova in:

Transizioni atomiche indotte da un campo elettromagnetico oscillante (es. laser, microonde).
Righe spettrali in spettroscopia: solo la frequenza dell’onda esterna compatibile con la differenza di energia tra due livelli produce transizione.

Quando la frequenza non è in risonanza, la probabilità di transizione resta trascurabile; in risonanza può diventare molto alta.

Condizioni di validità e larghezza di riga per transizioni indotte da perturbazione periodica

Condizioni di validità dell’approssimazione perturbativa e relazione fra durata della perturbazione e larghezza spettrale.

Condizioni sui tempi e sulla risoluzione spettrale:
In alto a sinistra si trova la condizione di separazione dei picchi risonanti:
\[ 2\omega_{fi} \gg \Delta\omega = \frac{4\pi}{T} \] Questo implica che la differenza tra le due frequenze di risonanza ($\omega_{fi}$) deve essere molto più grande della larghezza di ciascun picco ($\Delta\omega$), così che le transizioni non interferiscano.

Tempo di osservazione e risoluzione energetica:
- $ T \gg \frac{2\pi}{\omega_{fi}} $: la durata della perturbazione deve essere molto più lunga del periodo caratteristico associato alla transizione ($\omega_{fi}$).
- $ T \ll \frac{\hbar}{|V_{fi}|} $: il tempo deve però restare sufficientemente piccolo perché l’approssimazione perturbativa sia valida (ovvero, la probabilità di transizione deve restare molto minore di 1).

Larghezza di riga e principio di indeterminazione:
La relazione \[ \Delta\omega = \frac{4\pi}{T} \] mostra come la larghezza della riga (spettrale) sia inversamente proporzionale alla durata $T$ della perturbazione: più lunga è la perturbazione, più “fine” è la selezione in frequenza (più stretta è la riga spettrale).
Questo è un esempio concreto del principio di indeterminazione tempo-energia: osservare una transizione per un tempo finito introduce un’incertezza sulla frequenza (e quindi sull’energia) della transizione osservata.

Funzione di forma: A destra, viene ribadita la funzione \[ F(t, \omega - \omega_{fi}) \] che rappresenta la forma del profilo di probabilità di transizione in funzione della frequenza e del tempo.

Conclusioni: Questi vincoli sono fondamentali in spettroscopia, per interpretare la risoluzione dei picchi e la selettività delle transizioni indotte da campi periodici.

Distribuzione della probabilità di transizione e relazione energia-frequenza

Distribuzione della probabilità di transizione e relazione tra tempo di osservazione e risoluzione in energia.

In questa immagine viene illustrata la probabilità di transizione per una perturbazione costante, rappresentata graficamente come un picco centrale più stretto all'aumentare della durata dell'osservazione.

Al centro della lavagna si nota il grafico della probabilità di transizione in funzione della frequenza, con un picco attorno a $\omega_{fi} \approx 0$ (ossia quando la differenza tra le energie dei due stati è circa zero).
La larghezza del picco, $\Delta\omega$, è inversamente proporzionale al tempo $T$ secondo: \[ \Delta\omega \approx \frac{4\pi}{T} \]
In basso, trovi le relazioni che legano l'energia finale e l'energia iniziale agli estremi della larghezza: \[ E_f \approx E_i \] \[ E_f \approx E_i \pm \frac{2\pi}{T} \] Questo esprime il fatto che, per tempi finiti di osservazione, la transizione non avviene esattamente per $\omega_{fi}=0$ (cioè per $E_f = E_i$), ma si ha una “finestra” di larghezza $\Delta E$ in cui la probabilità è significativa, a causa del principio di indeterminazione energia-tempo.

In sintesi: Il tempo di osservazione limita la precisione energetica con cui puoi risolvere la transizione: più osservi a lungo, più precisa sarà la determinazione dell’energia.

Transizioni: caso non degenere e caso degenere

Transizioni nel tempo: differenza tra caso non degenere e degenere, e confronto tra perturbazione costante e periodica.

Riepilogo: confronto tra perturbazione periodica e costante

Perturbazione costante ($ V(t) = V $): L’integrazione del coefficiente di transizione porta a:
$ c_f^{(1)}(t) = \frac{V_{fi}}{\hbar \omega_{fi}} \left( e^{i\omega_{fi} t} - 1 \right) $
La probabilità di transizione è:
$ P_{i \rightarrow f}(t) = \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2} \left[ \frac{\sin(\omega_{fi} t/2)}{(\omega_{fi}/2)} \right]^2 $
Perturbazione periodica ($ V(t) = V \cos\omega t $): Compaiono due termini risonanti (assorbimento/emissione), e la probabilità di transizione presenta due picchi, in corrispondenza di $ \omega = \pm \omega_{fi} $.
Grafici: - **Costante**: $ P_{i \rightarrow f}(t) $ mostra un picco attorno a $ \omega_{fi} $, con larghezza legata al tempo di interazione. - **Periodica**: compaiono due picchi a $ \pm\omega_{fi} $.

Distinzione fondamentale:

Non degenere ($ E_f \neq E_i $): La probabilità di transizione oscilla nel tempo, non cresce indefinitamente.
$ P_{i \rightarrow f}(t) = \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2(\omega_{fi} t / 2)}{\omega_{fi}^2} $
Validità: $ |V_{fi}| \ll |E_f - E_i| $ o $ |V_{fi}| \ll \frac{\hbar}{t} $.
Degenere ($ E_f = E_i $): La probabilità cresce quadraticamente nel tempo:
$ P_{i \rightarrow f}(t) = \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2} t^2 $
Validità: solo per $ t \ll \frac{\hbar}{|V_{fi}|} $.

Conclusioni e nota finale:
La teoria perturbativa a primo ordine vale solo se la probabilità resta molto minore di 1, cioè per tempi sufficientemente piccoli o per perturbazioni molto deboli. La distinzione tra caso degenere e non degenere è essenziale per capire la crescita della probabilità nel tempo: - Se la degenerazione è presente, la probabilità cresce rapidamente e il limite di validità è più stringente. - Per ogni caso (costante o periodica), il regime perturbativo è valido solo per una delle due condizioni (a seconda della degenerazione).

Transizioni a stati continui, densità di stati e variabili continue

Transizioni verso stati del continuo: dominio finale, densità di stati, e variabili continue.

Riepilogo: passaggio da stati discreti a stati continui
Nei sistemi reali, molte transizioni non avvengono tra pochi stati discreti ma verso un insieme continuo di stati finali (ad esempio nello scattering, nell’emissione libera, o nei processi di ionizzazione).

In questo caso la probabilità totale di transizione non si ottiene più con una semplice somma, ma tramite un integrale su tutte le possibili configurazioni dello stato finale:

\[ P_{i \rightarrow f}(t) = \int_{D_f} d^3p\, |\langle \vec{p}\,|\,\psi(t)\rangle|^2 \]

Dove il dominio $ D_f $ rappresenta le condizioni sperimentali (ad esempio, l’interno di un cono solido di ampiezza $\Delta\Omega_f$ e intervallo di energia $\Delta E_f$), come illustrato nel disegno e nella spiegazione a sinistra delle foto.

Si usa il fatto che:

\[ d^3p = p^2 dp\, d\Omega, \quad \mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} \]

Passaggio alla densità di stati
Cambiando variabile da $p$ a $\mathcal{E}$, si ottiene la densità di stati (cioè quanti stati accessibili ci sono per intervallo di energia):

\[ p^2 dp = \rho(\mathcal{E}) d\mathcal{E}, \qquad \rho(\mathcal{E}) = p^2 \frac{dp}{d\mathcal{E}} = m\,d\mathcal{E} \]

Quindi la probabilità di transizione si riscrive:

\[ P_{i \rightarrow f}(t) = \int_{\Delta \Omega_f} d\Omega \int_{\Delta E_f} \rho(\mathcal{E}) |\langle \vec{p}\,|\,\psi(t)\rangle|^2\, d\mathcal{E} \]

Generalizzazione (variabile continua generica $\alpha$)
Più in generale, se la variabile finale non è necessariamente il momento ma può essere qualunque variabile continua $\alpha$ (es: energia + angolo, etc), si scrive:

\[ P_{i\to f}(t) = \int_{\Delta \alpha} d\alpha\, |\langle \alpha | \psi(t) \rangle|^2 = \int d\beta \int \rho(\mathcal{E},\beta)\, |\langle \alpha | \psi(t) \rangle|^2 d\mathcal{E} \]

Dove $\beta$ rappresenta le eventuali altre variabili continue che etichettano lo stato finale.

Collegamento agli step seguenti: - Questo formalismo permette di affrontare correttamente la **regola d’oro di Fermi** (dove la densità di stati gioca un ruolo fondamentale) e i calcoli delle probabilità di transizione per processi verso il continuo.
- L’integrale, pesato da $\rho(\mathcal{E})$, rappresenta la somma sulle probabilità di trovare il sistema in qualsiasi stato finale accessibile sperimentalmente.
- Le espressioni ottenute al primo ordine perturbativo (con la funzione $F$ per la risoluzione energetica) si generalizzano da discrete a continue esattamente in questo modo.

In sintesi: Nel caso di stati finali continui, bisogna sempre passare da una somma discreta a un integrale, **includendo la densità di stati** e il dominio di osservazione. Questo permette di calcolare correttamente le probabilità nelle situazioni fisiche reali, come i processi di scattering o emissione di particelle.

Probabilità di transizione a uno stato continuo, densità di stati e primo ordine perturbativo

Applicazione del primo ordine perturbativo: probabilità di transizione a uno stato finale continuo, uso della funzione Fermi-Golden Rule.

In questo passaggio si considera una perturbazione costante $ V(t) = V $. Quando lo stato finale non è più discreto ma appartiene a un continuo (es. processo di ionizzazione o scattering), la probabilità di transizione non è verso un singolo stato, ma verso una regione del continuo delle energie finali.

La probabilità di transizione differenziale si esprime come:

\[ \left| \langle E | \psi(t) \rangle \right|^2 \simeq \frac{1}{\hbar^2} \left| \langle E | V | \varphi_i \rangle \right|^2 F \left( t, \frac{E - E_i}{\hbar} \right) \]

dove F è la funzione di finestra temporale che contiene la dipendenza dal tempo di interazione e seleziona le energie di risonanza.

La probabilità totale di transizione si ottiene integrando sulla regione di energie finali e includendo la densità di stati $ \rho(E) $:

\[ P_{i \rightarrow f} \simeq \frac{1}{\hbar^2} \int_{\delta E_f} \left| \langle E | V | \varphi_i \rangle \right|^2 F \left( t, \frac{E-E_i}{\hbar} \right) \rho(E)\, dE \]

Questo è il passo centrale per arrivare alla cosiddetta regola d’oro di Fermi, che si ottiene prendendo il limite per tempi lunghi e permette di calcolare il tasso di transizione tra stati iniziali e finali in presenza di perturbazione.

Riassumendo: si passa dalla probabilità di transizione per uno stato discreto a una distribuzione continua, includendo il contributo di tutti gli stati finali tramite l’integrazione pesata dalla densità di stati.

Transizioni a uno stato del continuo con perturbazione periodica

Transizioni a uno stato del continuo: applicazione della regola d’oro di Fermi con perturbazione periodica.

In questa lavagna si estende il formalismo delle transizioni indotte da perturbazioni costanti al caso di una perturbazione periodica, tipicamente del tipo $ V = V \sin(\omega t) $, molto comune in fisica atomica e spettroscopia.

Si studia la probabilità di transizione per unità di tempo verso uno stato finale appartenente a uno spettro continuo di energie (transizioni indotte verso il continuo):

\[ \Pi_{i \rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \, \rho(E_f = E_i \pm \hbar\omega) \left| \langle E_f = E_i \pm \hbar\omega | V | \varphi_i \rangle \right|^2 \]

$ \rho(E_f) $ è la densità di stati finali al valore energetico richiesto dalla risonanza (conservazione dell’energia).
Il termine $ E_f = E_i \pm \hbar\omega $ indica che, rispetto alla perturbazione costante, qui le transizioni sono assorbimento/emissione di quanti di energia $ \hbar\omega $ (tipico effetto di un campo oscillante).

Il grafico sotto mostra i picchi di probabilità di transizione nei punti energetici di risonanza, che sono dati proprio dalle condizioni sopra (ossia, il sistema può assorbire o emettere energia dal campo esterno).

Questo formalismo è il cuore della regola d’oro di Fermi applicata a campi oscillanti, e si usa per descrivere, per esempio, l’assorbimento di luce (spettroscopia), emissione stimolata e tutti i processi indotti da campi esterni periodici.

Regola d’oro di Fermi: finestra di energia e delta di Dirac

Regola d’oro di Fermi: finestra energetica, delta di Dirac, e valutazione dell’integrale per $ t \to \infty $.

In questa lavagna si approfondisce la regola d’oro di Fermi per transizioni verso stati continui, portando l’approssimazione all’estremo $ t \to \infty $, ovvero assumendo tempi lunghissimi di osservazione.

Finestra energetica: Il termine $ F(t, \frac{E - E_i}{\hbar}) $ diventa una funzione delta di Dirac, $ 2\pi t \, \delta(E - E_i) $, che seleziona solo i valori di energia per cui la transizione è risonante.
Si considera che la densità degli stati $ \rho(E) $ e l’elemento di matrice non variano significativamente su un intervallo energetico ristretto (ampiezza $ \Delta E $), cioè dove la funzione delta è significativa.

\[ P_{i \to f} \approx \frac{1}{\hbar^2} \, \rho(\bar{E}_f) \left| \langle \bar{E}_f | V | \psi_i \rangle \right|^2 \, \int F\left(t, \frac{\bar{E}_f - E_i}{\hbar}\right) dE \]

La larghezza della finestra energetica dipende da $ t $:
$ \Delta \omega = \frac{4\pi}{T} $, $ \Delta E = \frac{4\pi \hbar}{T} $.

In pratica, solo gli stati finali energeticamente compatibili con la conservazione dell’energia (entro la finestra data dalla risoluzione temporale) danno contributo, e la probabilità totale si riduce a un valore molto semplice grazie alla delta di Dirac.
Questo è il passaggio chiave che giustifica l’uso della delta di Dirac nella regola d’oro di Fermi per tempi lunghi e giustifica le proprietà di assorbimento/emissione in spettroscopia e fisica delle transizioni indotte.

Delta di Dirac come limite di funzioni: transizioni verso uno spettro continuo

Limite di funzioni che rappresentano la delta di Dirac per transizioni verso lo spettro continuo.

In questa lavagna si mostra come la delta di Dirac $\delta(\alpha)$ emerga rigorosamente come limite della funzione $\frac{\sin^2 \rho \alpha}{\pi \alpha^2}$ per $\rho \to \infty$. Questo passaggio è cruciale nell’analisi delle transizioni indotte verso uno spettro continuo.

Viene scritto esplicitamente il limite \[ \delta_\rho(\alpha) = \frac{1}{\pi} \frac{\sin^2 \rho \alpha}{\alpha^2} \] e si mostra che, integrando contro una funzione test $f(\alpha)$, nel limite $\rho \to \infty$ si ottiene esattamente $f(0)$: il comportamento caratteristico della delta di Dirac.
Si fa un cambio di variabile $x = \rho \alpha$, si esplicita l’integrale e si vede che tutta la funzione “si restringe” attorno a zero.

\[ \lim_{\rho \to \infty} \int d\alpha\, f(\alpha) \frac{1}{\pi} \frac{\sin^2(\rho\alpha)}{\alpha^2} = f(0) \]

Perché è importante? Questo risultato fornisce la base matematica per sostituire, nei calcoli sulle probabilità di transizione a lungo termine, la funzione oscillante con una delta di Dirac. È uno degli snodi concettuali che permettono di passare dalle formule generali alle espressioni pratiche della regola d’oro di Fermi.

Decadimento esponenziale, vita media e larghezza di riga

Decadimento esponenziale di uno stato iniziale, vita media ($\tau$) e la relazione con la larghezza di riga ($\Gamma$).

Questa lavagna collega la regola d’oro di Fermi all’interpretazione fisica della vita media di uno stato quantistico instabile e introduce la relazione con la larghezza di riga ($\Gamma$).

Si parte dalla probabilità di rimanere nello stato iniziale, che decresce esponenzialmente: \[ p_{ii}(t) = e^{-t/\tau} \] dove $\tau$ è la vita media dello stato.
La vita media è espressa come inverso della somma delle probabilità di transizione verso tutti gli stati finali accessibili: \[ \tau = \frac{1}{\sum_{f \ne i} \Pi_{i \to f}} \] dove $\Pi_{i \to f}$ sono le probabilità di transizione per unità di tempo ottenute con la regola d’oro di Fermi.
Si introduce il concetto di larghezza di riga (o linewidth): \[ \Gamma = \sum_{f \ne i} \Pi_{i \to f} \] che rappresenta la “larghezza” energetica della riga di emissione o assorbimento, legata all’incertezza di energia e alla durata dello stato eccitato. In particolare, $\tau \sim \frac{\hbar}{\Gamma}$.
In fondo si vede la domanda: “LARGHEZZA DI RIGA?” – che suggerisce il passaggio dalla vita media di uno stato all’ampiezza spettrale osservabile.

In sintesi: Quando uno stato eccitato decade spontaneamente (o viene perturbato), la durata tipica del decadimento determina la “sfocatura” della linea spettrale associata, e questa relazione è alla base di molti fenomeni fisici, dall’emissione atomica agli effetti di broadening negli spettri.

Livelli energetici con larghezza di riga

Rappresentazione qualitativa della larghezza di riga ($\Gamma$) per stati eccitati a vita finita.

La lavagna visualizza come la vita media finita di uno stato eccitato ($\tau_B, \tau_C$) implichi una indeterminazione in energia:

Ogni stato eccitato (es. $E_B$ o $E_C$) è illustrato da una banda ombreggiata di ampiezza $\Delta E \simeq \Gamma$. Il valore centrale rimane $E_B$ ma, a causa del decadimento spontaneo, l’energia non è definita con precisione.
Per un livello isolato si ha \[ \Gamma = \frac{\hbar}{\tau}, \] relazione che discende dall’incertezza tempo-energia \[ \Delta t\,\Delta E \gtrsim \frac{\hbar}{2}. \] Se lo stato dura poco ($\tau$ piccolo) la riga spettrale è larga; viceversa, $\tau\to\infty$ implica $\Gamma\to0$ (stato realmente stazionario).
Il diagramma in alto mostra la transizione $E_B \to E_A$ con frequenza $\omega = \dfrac{E_B - E_A}{\hbar}$. In pratica, lo spettro osservato non è una linea infinitamente sottile ma una campana di larghezza $\Gamma$.
Sulla destra viene evidenziato che la larghezza di riga complessiva in una transizione multipla è la somma dei contributi dei due livelli coinvolti: \[ \Gamma_{\text{tot}} = \Gamma_B + \Gamma_A. \] Poiché il livello fondamentale $E_A$ è (quasi) stabile, il suo contributo è trascurabile; dominano le larghezze degli stati eccitati.

Conclusione: la meccanica quantistica a tempi finiti unifica durata dello stato e “sfocatura” spettrale. L’atomo reale mostra righe ad ampiezza finita perché soltanto il ground state ha, idealmente, $\tau\to\infty$.

Dinamica con perturbazione a tempo finito

Setup: lo stato iniziale è $|\psi(0)\rangle = |\phi_i\rangle$. Per l’hamiltoniana è $H(t)=H_0+V(t)$; fuori da quest’intervallo torna $H_0$.
Metodo delle costanti variabili: $$|\psi(t)\rangle=\sum_k c_k(t)\,e^{-iE_k t/\hbar}|\phi_k\rangle.$$ Sostituendo in $i\hbar\dot{\psi}=H\psi$ si ottiene il sistema $$i\hbar\;\dot c_n(t)=\sum_k V_{nk}(t)\,e^{i\omega_{nk}t}\,c_k(t),\quad \omega_{nk}=\frac{E_n-E_k}{\hbar}.$$
Sviluppo perturbativo $$c_k(t)=c_k^{(0)}(t)+\lambda c_k^{(1)}(t)+\dots,\qquad c_k^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\!\int_0^t\!dt'\,V_{ki}(t')e^{i\omega_{ki}t'}.$$ La probabilità al primo ordine è $P_{i\to f}(t)=|c_f^{(1)}(t)|^{2}$.

Perturbazione costante vs periodica

Costante $V(t)=V$
$$P_{i\to f}(t)=\frac{|V_{fi}|^{2}}{\hbar^{2}} F\!\bigl(t,\omega_{fi}\bigr), \quad F=\Bigl[\tfrac{\sin(\omega_{fi}t/2)}{\omega_{fi}/2}\Bigr]^{2}.$$ Il picco diffrattivo ha larghezza $\Delta\omega\simeq \tfrac{4\pi}{t}$.
Periodica $V(t)=V\sin\omega t$
compaiono due termini risonante ($\omega\approx\omega_{fi}$) ed antirisonante ($\omega\approx-\omega_{fi}$). In regime $2\omega_{fi}\gg \Delta\omega$ si isola il solo picco risonante.

Densità di stati e Fermi Golden Rule

Per transizioni verso un continuo di energia si integra $$P_{i\to f}(t)=\frac{1}{\hbar^{2}} \!\int\!dE\,\rho(E)\,|V_{Ei}|^{2} F\!\bigl(t,\tfrac{E-E_i}{\hbar}\bigr).$$ Nel limite $t\!\to\!\infty$, $F\to 2\pi t\,\hbar\,\delta(E-E_i)$ ⇒ $$\boxed{\; \Pi_{i\to f} = \frac{2\pi}{\hbar}\,\rho(E_f)\,|V_{fi}|^{2} \;}$$ (probabilità per unità di tempo).

Vita media e larghezza di riga

Probabilità di non decadere: $P_{ii}(t)=e^{-t/\tau}$ con $\displaystyle \tau=\frac{1}{\sum_{f\neq i}\Pi_{i\to f}}$.
Definiamo $\Gamma=\hbar/\tau=\sum_{f\neq i}\Pi_{i\to f}\,\hbar$. Dalla relazione d’incertezza otteniamo $\tau\,\Gamma\approx\hbar\; \Longrightarrow\; \Gamma$ è la larghezza naturale di riga.
Solo il ground state ha $\tau\to\infty,\ \Gamma\to0$. Ogni stato eccitato possiede una banda energetica di ampiezza $\Delta E\sim\Gamma$ (v. disegno 19).

Idea chiave: nel dominio del tempo finito la dinamica è controllata da F(t,Δω), che agisce da “finestra” sempre più stretta man mano che l’interazione dura; quando $t$ è grande la finestra converge a una δ-di Dirac in energia e porta, tramite la Fermi Golden Rule, alla connessione diretta tra tasso di decadimento ($\Pi$), vita media ($\tau$) e larghezza spettrale ($\Gamma$).

Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo

Hamiltoniana totale
$ \hat H(t)=\hat H_{0}+ \hat V(t) $

$ \hat H_{0} $: Hamiltoniana non perturbata, caratterizza il sistema “di base” (es: atomo isolato)
$ \hat V(t) $: perturbazione tempo-dipendente (es: campo EM, urto, impulso esterno)

Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo
$ i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t} |\Psi(t)\rangle = \hat H(t)\,|\Psi(t)\rangle $

Descrive l’evoluzione del sistema sotto l’effetto della perturbazione

Espansione sugli autostati di $ \hat H_{0} $
$ |\Psi(t)\rangle = \sum_{n} c_{n}(t)\,e^{-iE_{n}t/\hbar}\,|n\rangle $, $ \hat H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle $

Gli autostati $|n\rangle$ formano una base ortonormale del sistema non perturbato
$c_n(t)$: ampiezza di probabilità di trovare il sistema nello stato $|n\rangle$ al tempo t

Equazione per i coefficienti dinamici
$ i\hbar\,\dot c_{m}(t)=\sum_{n} V_{mn}(t)\,e^{i\omega_{mn}t}\,c_{n}(t) $
$ V_{mn}(t)=\langle m|\hat V(t)|n\rangle,\quad \omega_{mn}=\frac{E_{m}-E_{n}}{\hbar} $

$V_{mn}(t)$: elemento di matrice della perturbazione tra gli stati m e n
$\omega_{mn}$: “frequenza di Bohr”, differenza di energia tra i due livelli, divisa per $\hbar$

Soluzione al primo ordine (partendo da $|i\rangle$ in t=0)
$ c_{f}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t} V_{fi}(t')\,e^{i\omega_{fi}t'}\,dt' $

L’integrale va da $ t'=0 $ a $ t'=t $ perché si considera il sistema inizialmente nello stato $|i\rangle$, e la perturbazione agisce da $t=0$ a $t$.
Il limite inferiore è “giustificato fisicamente”: per t < 0 il sistema evolve secondo $\hat H_0$ e
per t ≥ 0 la perturbazione si “accende” (condizione iniziale). Questo segue dalla continuità dell’evoluzione temporale e dalla costruzione del problema Cauchy nel formalismo quantistico.

$ P_{i\to f}(t)=|c_{f}^{(1)}(t)|^{2} $

Probabilità di transizione dal livello iniziale i al livello f al tempo t

Casi utili
• Perturbazione costante ($ \hat V(t)=\hat V_{0} $)
$ P_{i\to f}(t)=\dfrac{|V_{fi}|^{2}}{\hbar^{2}}\dfrac{\sin^{2}(\frac{\omega_{fi}t}{2})}{(\frac{\omega_{fi}}{2})^{2}} $

Compare la funzione sinc$^2$ (picco diffrattivo): la transizione è massima quando la frequenza della perturbazione “risuona” con la differenza di energia tra i livelli.

• Perturbazione periodica ($ \hat V(t)=\hat V_{0}\cos\omega t $)
(Risonanza se $ \omega \approx \omega_{fi} $; due termini, assorbimento / emissione indotta)

Se la frequenza esterna è “vicina” a quella di Bohr, si ha un picco risonante nella probabilità di transizione.

Regola d’oro di Fermi (stati nel continuo)
$ \displaystyle \Pi_{i\to f}= \frac{2\pi}{\hbar}\,|\langle f|\hat V|i\rangle|^{2}\,\rho(E_{f}) $

Si usa per sistemi con stati finali nel continuo (es: emissione, assorbimento, urti, decadimento, ionizzazione)
$\rho(E_{f})$: densità di stati finali (numero di stati per intervallo di energia)

Vita media e larghezza di riga
$ \displaystyle \tau = \frac{1}{\sum_{f\neq i}\Pi_{i\to f}},\qquad \Gamma = \hbar/\tau,\qquad \Gamma\,\tau \approx \hbar $

τ: vita media dello stato eccitato prima della transizione
Γ: larghezza in energia della riga spettrale associata alla transizione (relazione di indeterminazione tempo-energia)

Legenda

$ \hat H_{0}$: Hamiltoniana “libera” (senza perturbazione)
$ \rho(E_{f})$: densità di stati finali
$ \tau$: vita media (tempo tipico di decadimento)
$ \Gamma$: larghezza di riga spettrale

╔════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║    Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo (Time-dependent            ║
║               perturbation theory – Box riassuntivo)                         ║
╠════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║  Hamiltoniana:                                                                ║
║    𝑯̂(t) = 𝑯̂₀ + 𝑽̂(t)                                                        ║
║                                                                               ║
║  Equazione di Schrödinger:                                                    ║
║    iħ ∂/∂t |Ψ(t)⟩ = 𝑯̂(t) |Ψ(t)⟩                                              ║
║                                                                               ║
║  Espansione sugli autostati di 𝑯̂₀:                                           ║
║    |Ψ(t)⟩ = Σₙ cₙ(t) e^(−iEₙt/ħ) |n⟩                                          ║
║    𝑯̂₀|n⟩ = Eₙ|n⟩                                                             ║
║                                                                               ║
║  Equazione per i coefficienti:                                                ║
║    iħ d/dt cₘ(t) = Σₙ Vₘₙ(t) e^(iωₘₙ t) cₙ(t)                                ║
║    Vₘₙ(t) = ⟨m|𝑽̂(t)|n⟩                                                       ║
║    ωₘₙ   = (Eₘ − Eₙ)/ħ                                                        ║
║                                                                               ║
║  Soluzione al primo ordine (partendo da |i⟩):                                 ║
║    c_f^(1)(t) = (1/iħ) ∫₀^t V_{fi}(t') e^{iω_{fi}t'} dt'                      ║
║    P_{i→f}(t) = |c_f^(1)(t)|²                                                 ║
║                                                                               ║
║  Casi notevoli:                                                               ║
║   1. 𝑽̂(t) = 𝑽̂₀ costante:                                                     ║
║      c_f^(1)(t) = [V_{fi}/(ħω_{fi})][e^{iω_{fi}t} − 1]                        ║
║      P_{i→f}(t) = (|V_{fi}|²/ħ²) [sin²(ω_{fi}t/2)/(ω_{fi}/2)²]                ║
║                                                                               ║
║   2. 𝑽̂(t) = 𝑽̂₀ cos(ωt): (risonanza se ω ≈ ω_{fi})                           ║
║      c_f^(1)(t) → due termini risonanti (assorbimento / emissione)            ║
║      [Formula completa su richiesta]                                          ║
║                                                                               ║
║  Transizioni al continuo (regola d’oro di Fermi):                             ║
║    Π_{i→f} = (2π/ħ) |⟨f|𝑽̂|i⟩|² ρ(E_f)                                        ║
║    ρ(E_f)  = densità di stati finali                                          ║
║                                                                               ║
║  Larghezza di riga e vita media:                                              ║
║    τ = 1 / Σ_{f ≠ i} Π_{i→f}     Γ = ħ / τ     (Γ τ ≃ ħ)                      ║
╠════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║  Legenda simboli:                                                             ║
║   • 𝑯̂₀: Hamiltoniana non perturbata (stazionaria)                            ║
║   • 𝑽̂(t): perturbazione (tempo-dipendente)                                   ║
║   • |n⟩: autostato di 𝑯̂₀ con energia Eₙ                                      ║
║   • cₙ(t): coefficiente di probabilità di trovare il sistema in |n⟩           ║
║   • ωₘₙ: pulsazione di Bohr (Eₘ−Eₙ)/ħ                                         ║
║   • ρ(E_f): densità di stati finali                                           ║
║   • τ: vita media     Γ: larghezza di riga                                    ║
╚════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

Teoria delle Perturbazioni Dipendente dal Tempo

Dinamica con perturbazione a tempo finito

Perturbazione costante vs periodica

Densità di stati e Fermi Golden Rule

Vita media e larghezza di riga