Rappresentazioni Matriciali del Momento Angolare

Operatori del momento angolare

Gli operatori del momento angolare \(\mathbf{L}\) in meccanica quantistica soddisfano le relazioni di commutazione fondamentali:
\[ [L_x, L_y] = i \hbar L_z, \quad [L_y, L_z] = i \hbar L_x, \quad [L_z, L_x] = i \hbar L_y \]
Il momento angolare totale \(\mathbf{L}^2\) e la componente lungo \(z\), \(L_z\), sono simultaneamente osservabili, poiché:
\[ [\mathbf{L}^2, L_z] = 0 \]

Autovalori e autofunzioni

Gli operatori \(\mathbf{L}^2\) e \(L_z\) agiscono sugli autostati \(|l, m\rangle\) secondo:
\[ \mathbf{L}^2 |l, m\rangle = \hbar^2 l(l+1) |l, m\rangle, \quad L_z |l, m\rangle = \hbar m |l, m\rangle \]
dove \(l\) è il numero quantico del momento angolare (\(l = 0, 1, 2, \ldots\)) e \(m\) è il numero quantico magnetico (\(m = -l, -l+1, \ldots, l\)).

Rappresentazioni matriciali

La rappresentazione matriciale degli operatori del momento angolare è definita nello spazio degli stati \(|l, m\rangle\). Per un dato valore di \(l\), il sistema ha dimensione \(2l+1\).

Componente \(L_z\)

La matrice associata a \(L_z\) è diagonale:
\[ L_z = \begin{pmatrix} l \hbar & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & (l-1)\hbar & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -l \hbar \end{pmatrix} \]

Operatori di salita e discesa

Gli operatori di salita \(L_+\) e discesa \(L_-\) sono definiti come:
\[ L_\pm = L_x \pm i L_y \]
Essi agiscono sugli stati \(|l, m\rangle\) come segue:
\[ L_\pm |l, m\rangle = \hbar \sqrt{l(l+1) - m(m \pm 1)} |l, m \pm 1\rangle \]

Matrice di \(L_x\) e \(L_y\)

Gli operatori \(L_x\) e \(L_y\) possono essere espressi in termini di \(L_+\) e \(L_-\):
\[ L_x = \frac{L_+ + L_-}{2}, \quad L_y = \frac{L_+ - L_-}{2i} \]
Le loro rappresentazioni matriciali si ottengono combinando le matrici di \(L_+\) e \(L_-\).

Interpretazione fisica

Le rappresentazioni matriciali del momento angolare sono fondamentali per descrivere sistemi con simmetria sferica, come atomi e nuclei. Questi strumenti sono utilizzati per analizzare la struttura fine degli spettri atomici e per studiare le interazioni spin-orbita.

Dettagli matematici: operatori di salita e discesa

Gli operatori di salita e discesa, \( L_+ \) e \( L_- \), giocano un ruolo fondamentale nella costruzione delle matrici del momento angolare. Partendo dalle relazioni di commutazione e dalle regole di azione di \( L_+ \) e \( L_- \) sugli autostati \(|l, m\rangle\), possiamo derivare le matrici.

\[ L_\pm |l, m\rangle = \hbar \sqrt{l(l+1) - m(m \pm 1)} |l, m \pm 1\rangle \]

Le componenti \( L_x \) e \( L_y \) sono espresse in termini di \( L_+ \) e \( L_- \):

\[ L_x = \frac{L_+ + L_-}{2}, \quad L_y = \frac{L_+ - L_-}{2i} \]

Costruzione della matrice per \( L_+ \) e \( L_- \)

Consideriamo un esempio con \( l = 1 \) per illustrare il procedimento. Lo spazio degli stati è \(|1, 1\rangle\), \(|1, 0\rangle\), \(|1, -1\rangle\). La matrice di \( L_+ \) è non diagonale e agisce come segue:

Questo si traduce nella matrice:

\[ L_+ = \begin{pmatrix} 0 & \hbar \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \hbar \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

La matrice di \( L_- \) è l'operatore Hermitiano coniugato di \( L_+ \):

\[ L_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \hbar \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \hbar \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} \]

Costruzione delle matrici \( L_x \) e \( L_y \)

Con \( L_+ \) e \( L_- \) noti, le matrici per \( L_x \) e \( L_y \) possono essere calcolate:

\[ L_x = \frac{L_+ + L_-}{2}, \quad L_y = \frac{L_+ - L_-}{2i} \]

Per \( l = 1 \), queste diventano:

\[ L_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad L_y = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \]

Applicazioni delle matrici del momento angolare

Le matrici ottenute hanno ampie applicazioni in fisica teorica, dalla descrizione della struttura fine degli spettri atomici allo studio delle interazioni spin-orbita nei sistemi atomici e nucleari. Esse sono anche utilizzate per calcolare l'evoluzione temporale degli stati quantistici attraverso il formalismo di Heisenberg.

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