Regola d'Oro di Fermi

La Regola d'Oro di Fermi è uno strumento fondamentale per calcolare la probabilità di transizione tra due stati quantistici in un sistema perturbato. Si applica in situazioni in cui il sistema interagisce con una perturbazione dipendente dal tempo, ed è particolarmente utile per descrivere fenomeni come l'emissione spontanea, l'assorbimento di radiazione, e le transizioni indotte tra livelli energetici discreti e continui.

Formula Generale

\( w_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left| \langle f | \hat{H}' | i \rangle \right|^2 \rho(E_f) \)

In questa espressione:

\( w_{i \to f} \): tasso di transizione (probabilità per unità di tempo) dallo stato iniziale \( | i \rangle \) allo stato finale \( | f \rangle \).
\( \hat{H}' \): operatore perturbativo responsabile della transizione.
\( \rho(E_f) \): densità degli stati finali, ossia il numero di stati disponibili per unità di energia intorno all'energia finale \( E_f \).
\( \langle f | \hat{H}' | i \rangle \): elemento di matrice che rappresenta l'ampiezza della transizione indotta dalla perturbazione.

Applicazioni

La Regola d'Oro di Fermi viene utilizzata in numerosi contesti, tra cui:

Decadimenti radioattivi: descrive i tassi di emissione delle particelle in processi nucleari.
Transizioni ottiche: calcolo delle probabilità di assorbimento o emissione di fotoni da parte di atomi o molecole.
Processi di scattering: interpretazione di eventi di scattering elastico o anelastico tra particelle subatomiche.

Validità e Limiti

La Regola d'Oro di Fermi assume che:

La perturbazione \( \hat{H}' \) sia sufficientemente debole da permettere un approccio perturbativo di primo ordine.
La densità degli stati finali \( \rho(E_f) \) sia continua o quasi continua.
Le transizioni siano considerate in regime di "lunga durata", dove le fluttuazioni temporali diventano trascurabili.

Non è applicabile in condizioni di perturbazioni forti o di accoppiamento non lineare tra gli stati.

Derivazione della Regola

Per derivare la Regola d'Oro di Fermi, si parte dalla teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo. Consideriamo un sistema descritto da uno stato iniziale \( | i \rangle \) e una perturbazione dipendente dal tempo \( \hat{H}'(t) \). L'evoluzione temporale degli stati quantistici è governata dall'equazione di Schrödinger:

\( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle = (\hat{H}_0 + \hat{H}'(t)) | \psi(t) \rangle \)

Applicando l'approssimazione perturbativa di primo ordine e assumendo che la perturbazione abbia una dipendenza temporale armonica del tipo:

\( \hat{H}'(t) = \hat{H}' e^{-i \omega t} + \hat{H}'^\dagger e^{i \omega t} \)

il tasso di transizione \( w_{i \to f} \) si ottiene calcolando la probabilità di transizione tra \( | i \rangle \) e \( | f \rangle \) dopo un tempo sufficientemente lungo. Questa probabilità è proporzionale al modulo quadro dell'elemento di matrice:

\( |\langle f | \hat{H}' | i \rangle|^2 \)

Utilizzando l'espansione perturbativa e integrando su tutti gli stati finali disponibili, si introduce la densità degli stati \( \rho(E_f) \), ottenendo la formula completa della Regola d’Oro:

\( w_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f | \hat{H}' | i \rangle|^2 \rho(E_f) \)

Interpretazione Fisica

Il termine \( \rho(E_f) \) rappresenta il numero di stati finali disponibili per il sistema per unità di energia, ed è cruciale per descrivere fenomeni come la transizione di un sistema da un livello energetico discreto a uno continuo. La costante \( \frac{2\pi}{\hbar} \) deriva dal trattamento del problema tramite il formalismo di Fourier, legando la probabilità di transizione alla durata dell'interazione perturbativa.

Esempio Applicativo

Consideriamo un atomo che interagisce con un campo elettromagnetico, dove la perturbazione \( \hat{H}' \) rappresenta l'accoppiamento dipolare. La probabilità di assorbimento o emissione di un fotone dipende dalla densità degli stati del campo elettromagnetico e dall'elemento di matrice del momento di dipolo:

\( |\langle f | \vec{d} \cdot \vec{E} | i \rangle|^2 \)

Qui \( \vec{d} \) è il momento di dipolo elettrico e \( \vec{E} \) è il campo elettrico associato al fotone.

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