Relazione di De Broglie
Concetto e applicazione
La relazione di De Broglie stabilisce che ogni particella materiale può essere associata a un'onda con lunghezza d'onda \(\lambda\) definita come:
\[
\lambda = \frac{h}{p}
\]
dove \( h \) è la costante di Planck (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}\)) e \( p \) è il momento della particella.
Funzione d'onda per una particella libera
Per una particella libera che si muove lungo un asse \(x\), la funzione d'onda associata è espressa come:
\[
\psi(x, t) = A e^{i(kx - \omega t)}
\]
dove \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) è il numero d'onda e \(\omega = \frac{E}{\hbar}\) è la frequenza angolare. Sostituendo \(\lambda = \frac{h}{p}\), la funzione d'onda diventa:
\[
\psi(x, t) = A e^{i\left(\frac{px}{\hbar} - \frac{E t}{\hbar}\right)}
\]
Estensione tridimensionale
Nel caso tridimensionale, la funzione d'onda diventa:
\[
\psi(\vec{r}, t) = A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}
\]
dove \( \vec{r} = (x, y, z) \) è il vettore posizione e \( \vec{k} = \frac{\vec{p}}{\hbar} \) è il vettore d'onda. Riscrivendola in termini di quantità di moto:
\[
\psi(\vec{r}, t) = A e^{i\left(\frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{\hbar} - \frac{E t}{\hbar}\right)}
\]
Interpretazione fisica
La densità di probabilità è definita come \( |\psi(x, t)|^2 \). Nel caso di una funzione d'onda piana, \( |\psi|^2 \) è costante e necessita di essere reinterpretata in relazione al volume occupato dalla particella.
Normalizzazione
La funzione d'onda deve soddisfare la condizione di normalizzazione:
\[
\int |\psi(x, t)|^2 dx = 1
\]
Questo garantisce che la probabilità totale sia unitaria.
Significato e implicazioni
La relazione di De Broglie ha introdotto il concetto di dualità onda-particella, che è alla base della meccanica quantistica. Questo principio lega quantità classiche come il momento e la lunghezza d'onda a descrizioni ondulatorie.
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