Relazione di Indeterminazione

La meccanica quantistica stabilisce un limite fondamentale alla precisione con cui si possono misurare simultaneamente coppie di osservabili, specialmente quelle con operatori non commutanti. La più nota di queste è la relazione di indeterminazione di Heisenberg, che per posizione e impulso si esprime come \( \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \). Tuttavia, esiste una formulazione più generale, valida per qualsiasi coppia di operatori hermitiani \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\).

Espressione Generale della Relazione di Indeterminazione

Siano \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\) due operatori hermitiani. Definiamo i valori medi e le fluttuazioni rispetto ad uno stato \(|\psi\rangle\):

\[ \langle A \rangle = \langle \psi|\hat{A}|\psi \rangle, \quad \langle B \rangle = \langle \psi|\hat{B}|\psi \rangle. \]

Si introducono gli operatori scarto:

\[ \hat{A}' = \hat{A} - \langle A \rangle \hat{I}, \quad \hat{B}' = \hat{B} - \langle B \rangle \hat{I}. \] Le incertezze (o deviazioni standard) associate a \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\) sono:

\[ \Delta A = \sqrt{\langle \hat{A}'^2 \rangle} = \sqrt{\langle \psi | \hat{A}'^2 | \psi \rangle}, \quad \Delta B = \sqrt{\langle \hat{B}'^2 \rangle}. \]

La relazione di indeterminazione nella sua forma più generale è:

\[ \Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} \left| \langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle \right|, \] dove \([\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}\) è il commutatore.

Questa relazione rivela che se due osservabili non commutano, non si può preparare uno stato in cui entrambi siano simultaneamente noti con precisione arbitraria.

Stati con Indeterminazione Minima

Gli stati che saturano la disuguaglianza, ovvero per cui si ha l’uguaglianza \(\Delta A \Delta B = \frac{1}{2}|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle|\), sono detti stati a indeterminazione minima. Un esempio classico è il caso di posizione e impulso: gli stati coerenti dell’oscillatore armonico o i pacchetti d’onda gaussiani in libera propagazione sono stati che realizzano la minima indeterminazione, rendendo la relazione \(\Delta x \Delta p = \hbar/2\).

Per raggiungere la condizione di minima indeterminazione tra \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\), lo stato \(|\psi\rangle\) deve essere tale da soddisfare condizioni di eguaglianza nella dimostrazione della relazione di indeterminazione. Ciò spesso porta a stati con speciali proprietà di simmetria o gaussianità, come nel caso degli stati coerenti dell’oscillatore armonico quantistico.

Dimostrazione alla Lavagna

1. Parti dai commutatori: considera \(\hat{A}' = \hat{A} - \langle A \rangle\) e \(\hat{B}' = \hat{B} - \langle B \rangle\).

2. Definisci due stati ausiliari: \[ |\alpha\rangle = \hat{A}'|\psi\rangle, \quad |\beta\rangle = \hat{B}'|\psi\rangle. \] 3. Usa la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: \[ \langle \alpha|\alpha\rangle \langle \beta|\beta\rangle \geq |\langle \alpha|\beta\rangle|^2. \] 4. Sostituisci gli operatori e mostra che \(\langle \alpha|\alpha\rangle = (\Delta A)^2\) e \(\langle \beta|\beta\rangle = (\Delta B)^2\).

5. Separando parte reale e immaginaria di \(\langle \alpha|\beta\rangle\), si ottiene la relazione di indeterminazione generale: \[ \Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} | \langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle |. \] 6. Sottolinea che l’uguaglianza avviene se e solo se \(|\alpha\rangle\) e \(|\beta\rangle\) sono linearmente dipendenti, condizione per gli stati di indeterminazione minima.

Conseguenze Fisiche

La relazione di indeterminazione non è solo un limite operativo alla misurazione, ma riflette la natura intrinseca della descrizione quantistica. Non è possibile definire stati che siano autostati simultanei di due osservabili non commutanti. Gli stati di indeterminazione minima sono stati speciali che raggiungono il limite inferiore di questa incertezza, servendo spesso come punti di riferimento per capire fenomeni come l’invarianza di forma dei pacchetti d’onda e i principi base del controllo quantistico.

Ulteriore Analisi dei Passi Dimostrativi

Per chiarire i passaggi centrali nella dimostrazione della relazione di indeterminazione tra due operatori hermitiani \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\), si considerino le fluttuazioni \(\hat{A}' = \hat{A}-\langle A \rangle\hat{I}\) e \(\hat{B}' = \hat{B}-\langle B \rangle\hat{I}\). Questi operatori hanno valore medio nullo nello stato considerato \( |\psi\rangle \). L’obiettivo è ricavare un limite inferiore per il prodotto delle rispettive deviazioni standard \(\Delta A\) e \(\Delta B\).

Definire due vettori di stato nello spazio di Hilbert:

1) \(|\alpha\rangle = \hat{A}'|\psi\rangle\) che dipende dalla fluttuazione di \(\hat{A}\).

2) \(|\beta\rangle = \hat{B}'|\psi\rangle\) che dipende dalla fluttuazione di \(\hat{B}\).

Usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, valida per qualunque coppia di vettori \(|u\rangle\), \(|v\rangle\):

\(\langle u|u\rangle \langle v|v\rangle \ge |\langle u|v\rangle|^2\). Assegnando \(|u\rangle = |\alpha\rangle\) e \(|v\rangle = |\beta\rangle\), si ottiene:

\(\langle \alpha|\alpha\rangle \langle \beta|\beta\rangle \ge |\langle \alpha|\beta\rangle|^2.\)

Notare che \(\langle \alpha|\alpha\rangle = \langle \psi|\hat{A}'^2|\psi \rangle = (\Delta A)^2\) e similmente \(\langle \beta|\beta\rangle = (\Delta B)^2\). Dunque:

\((\Delta A)^2 (\Delta B)^2 \ge |\langle \alpha|\beta\rangle|^2 = |\langle \psi|\hat{A}'\hat{B}'|\psi \rangle|^2.\)

Separare ora la parte reale e immaginaria di \(\langle \psi|\hat{A}'\hat{B}'|\psi\rangle\). Poiché \(\hat{A}'\) e \(\hat{B}'\) sono hermitiani, si può scrivere il loro prodotto come combinazione simmetrica (parte hermitiana) e antisimmetrica (legata al commutatore). Nel dettaglio:

\(\hat{A}'\hat{B}' = \frac{1}{2}(\hat{A}'\hat{B}' + \hat{B}'\hat{A}') + \frac{1}{2}(\hat{A}'\hat{B}' - \hat{B}'\hat{A}')\).

La prima metà è hermitiana e contribuisce alla parte reale del valore medio, la seconda metà, che è \(\frac{1}{2}[\hat{A}', \hat{B}']\), è antihermitiana e la sua media contribuisce in modo immaginario. Dunque si ha:

Re(\(\langle\hat{A}'\hat{B}'\rangle\)) e Im(\(\langle\hat{A}'\hat{B}'\rangle\)) forniscono due disuguaglianze che combinate danno il risultato finale. In particolare, poiché \(\langle [\hat{A}',\hat{B}'] \rangle = \langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle\), la parte immaginaria è legata al commutatore e si ottiene, dopo algebra opportuna:

\(\Delta A \Delta B \ge \frac{1}{2}|\langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle|\).

Riguardo gli stati con indeterminazione minima, questi sono quegli stati per i quali la disuguaglianza si riduce ad un’uguaglianza. Ciò implica che i vettori \(|\alpha\rangle\) e \(|\beta\rangle\) debbano essere linearmente dipendenti. Nel caso specifico posizione-impulso, lo stato coerente dell’oscillatore armonico quantistico è un esempio paradigmatico, in cui la gaussiana associata minimizza l’indeterminazione, mantenendo le fluttuazioni di posizione e impulso bilanciate al valore minimo consentito dalla teoria.

Non si tratta di un limite tecnologico o di disturbo introdotto dal processo di misura, ma di un limite intrinseco, radicato nella struttura matematica degli operatori di osservabili non commutanti. L’uguale segno appare quando la struttura dello stato è tale da saturare la disuguaglianza.

Non c’è dunque una violazione di principi classici semplicemente per imperfezioni strumentali, ma un nuovo tipo di legge fisica, dove la quantizzazione dell’impulso e della posizione stabilisce proprietà fondamentalmente nuove del mondo microscopico.

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