Relazioni di Commutazione
Operatori di momento angolare
Il momento angolare è descritto da un operatore vettoriale \( \vec{L} = (L_x, L_y, L_z) \). Le componenti soddisfano le seguenti relazioni di commutazione fondamentali:
\[
[L_x, L_y] = i \hbar L_z, \quad [L_y, L_z] = i \hbar L_x, \quad [L_z, L_x] = i \hbar L_y
\]
dove \( [A, B] = AB - BA \) è il commutatore tra due operatori \( A \) e \( B \).
Modulo quadrato del momento angolare
L'operatore modulo quadrato \( L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 \) commuta con ciascuna delle componenti:
\[
[L^2, L_x] = [L^2, L_y] = [L^2, L_z] = 0
\]
Questo implica che \( L^2 \) e \( L_z \) possono essere simultaneamente diagonalizzati, fornendo i numeri quantici \( l \) (momento angolare totale) e \( m \) (proiezione lungo l'asse \( z \)).
Autovalori di \( L^2 \) e \( L_z \)
Gli autovalori degli operatori \( L^2 \) e \( L_z \) sono:
\[
L^2 |l, m\rangle = \hbar^2 l(l+1) |l, m\rangle, \quad L_z |l, m\rangle = \hbar m |l, m\rangle
\]
dove \( l \) è un numero intero o semi-intero (\( l = 0, \frac{1}{2}, 1, \ldots \)), e \( m \) assume valori discreti (\( m = -l, -l+1, \ldots, l \)).
Momento angolare in coordinate sferiche
In coordinate sferiche \((r, \theta, \phi)\), l'operatore \( L_z \) è espresso come:
\[
L_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi}
\]
L'operatore \( L^2 \) in coordinate sferiche è:
\[
L^2 = -\hbar^2 \left( \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right)
\]
Armoniche sferiche
Le armoniche sferiche \( Y_l^m(\theta, \phi) \) sono autovettori simultanei di \( L^2 \) e \( L_z \), con autovalori \( \hbar^2 l(l+1) \) e \( \hbar m \), rispettivamente. Sono espresse come:
\[
Y_l^m(\theta, \phi) = N_l^m P_l^m(\cos \theta) e^{i m \phi}
\]
dove \( P_l^m \) sono i polinomi associati di Legendre e \( N_l^m \) è una costante di normalizzazione.
Rappresentazioni matriciali
In una base di autostati \( |l, m\rangle \), le componenti \( L_x \), \( L_y \), e \( L_z \) del momento angolare sono rappresentate come matrici. Ad esempio, \( L_z \) è diagonale, mentre \( L_+ = L_x + iL_y \) e \( L_- = L_x - iL_y \) sono matrici di innalzamento e abbassamento:
\[
L_\pm |l, m\rangle = \hbar \sqrt{l(l+1) - m(m \pm 1)} |l, m \pm 1\rangle
\]
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