Rimozione della degenerazione

La degenerazione si verifica quando più stati quantistici condividono lo stesso autovalore di energia. Questo fenomeno è comune nei sistemi con simmetrie intrinseche, ma può essere perturbato da effetti esterni, come un campo elettrico o magnetico, che modificano le energie associate agli stati.

Quando il sistema è perturbato da un'interazione aggiuntiva descritta dall'Hamiltoniana perturbativa \( H' \), la degenerazione può essere rimossa e gli autovalori si separano. Consideriamo una degenerazione di ordine \( n \), ovvero \( n \) stati degenerati inizialmente.

Formalismo Matematico

\( H = H_0 + \lambda H' \)

Dove \( H_0 \) rappresenta l'Hamiltoniana del sistema non perturbato e \( H' \) è la perturbazione. Per un sistema degenerato, è necessario risolvere l'equazione agli autovalori limitandoci allo spazio degenerato:

\( H'_{\text{eff}} = \langle \psi_i | H' | \psi_j \rangle \)

Qui \( H'_{\text{eff}} \) è l'Hamiltoniana efficace nell'ambito dello spazio degenerato, e i termini diagonali e fuori-diagonali determinano il modo in cui gli autovalori si separano.

Esempio: L'effetto Stark in un atomo di idrogeno

Un esempio classico è l'effetto Stark negli atomi. In presenza di un campo elettrico esterno \( \mathbf{E} \), i livelli degenerati del secondo livello energetico (\( n=2 \)) si separano in quattro livelli distinti a causa della perturbazione:

\( H' = -\mathbf{d} \cdot \mathbf{E} \)

Dove \( \mathbf{d} \) è il momento di dipolo elettrico. La matrice efficace dell'Hamiltoniana perturbata è calcolata nello spazio degli stati degenerati \( | 2, l, m \rangle \), risultando in una matrice simmetrica che può essere diagonalizzata.

Concetti Chiave

Questo metodo si estende anche a casi più complessi, come degenerazioni di ordine superiore o perturbazioni che introducono accoppiamenti tra stati non degenerati.

Calcolo degli Autovalori e Autovettori

La rimozione della degenerazione richiede di risolvere l'equazione agli autovalori per l'Hamiltoniana efficace \( H'_{\text{eff}} \) nello spazio degli stati degenerati. Data una base degenerata \( \{ | \psi_1 \rangle, | \psi_2 \rangle, \dots, | \psi_n \rangle \} \), la matrice efficace è costruita come:

\( H'_{\text{eff}} = \begin{pmatrix} \langle \psi_1 | H' | \psi_1 \rangle & \langle \psi_1 | H' | \psi_2 \rangle & \cdots & \langle \psi_1 | H' | \psi_n \rangle \\ \langle \psi_2 | H' | \psi_1 \rangle & \langle \psi_2 | H' | \psi_2 \rangle & \cdots & \langle \psi_2 | H' | \psi_n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle \psi_n | H' | \psi_1 \rangle & \langle \psi_n | H' | \psi_2 \rangle & \cdots & \langle \psi_n | H' | \psi_n \rangle \end{pmatrix} \)

Questa matrice, una volta diagonalizzata, fornisce gli autovalori \( E_i \) corretti al primo ordine e i corrispondenti autovettori perturbati. Gli autovalori separati riflettono la rimozione della degenerazione.

Effetti delle Perturbazioni Fuori-diagonali

Quando \( H' \) ha termini fuori-diagonali significativi, questi accoppiamenti introducono mescolamenti tra gli stati degenerati. Supponiamo di avere due stati inizialmente degenerati \( | \psi_1 \rangle \) e \( | \psi_2 \rangle \). L'Hamiltoniana efficace assume la forma:

\( H'_{\text{eff}} = \begin{pmatrix} \langle \psi_1 | H' | \psi_1 \rangle & \langle \psi_1 | H' | \psi_2 \rangle \\ \langle \psi_2 | H' | \psi_1 \rangle & \langle \psi_2 | H' | \psi_2 \rangle \end{pmatrix} \)

\( E_{\pm} = \frac{\langle \psi_1 | H' | \psi_1 \rangle + \langle \psi_2 | H' | \psi_2 \rangle}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\langle \psi_1 | H' | \psi_1 \rangle - \langle \psi_2 | H' | \psi_2 \rangle}{2} \right)^2 + |\langle \psi_1 | H' | \psi_2 \rangle|^2} \)

Dove il termine sotto radice quantifica l'effetto del mescolamento tra gli stati.

Rimozione Completa della Degenerazione

Nel caso generale, la rimozione della degenerazione può essere descritta da un'espansione perturbativa agli ordini superiori. I contributi agli autovalori al secondo ordine sono dati da:

\( E_i^{(2)} = \sum_{k \notin D} \frac{|\langle \psi_k | H' | \psi_i \rangle|^2}{E_i^{(0)} - E_k^{(0)}} \)

Qui, \( D \) rappresenta lo spazio degenerato, e la somma viene eseguita sugli stati esterni. Questi termini al secondo ordine rappresentano correzioni più piccole che possono ulteriormente influenzare la separazione degli autovalori.

Applicazioni e Importanza

La rimozione della degenerazione è fondamentale per comprendere fenomeni come l'effetto Stark, l'effetto Zeeman e molte interazioni tra stati in sistemi complessi. È anche uno strumento essenziale per prevedere e interpretare spettri di energia in presenza di perturbazioni esterne.