Riassunto Perturbazioni
Meccanica Quantistica

1.1 Caso Non Degenere

H = H₀ + λH'
Eₙ(λ) = Eₙ⁽⁰⁾ + λEₙ⁽¹⁾ + λ²Eₙ⁽²⁾ + …
|ψₙ(λ)⟩ = |φₙ⟩ + λ|ψₙ⁽¹⁾⟩ + λ²|ψₙ⁽²⁾⟩ + …
Eₙ⁽¹⁾ = ⟨φₙ|H'|φₙ⟩
Eₙ⁽²⁾ = Σₖ≠ₙ |⟨φₖ|H'|φₙ⟩|² / (Eₙ⁽⁰⁾ - Eₖ⁽⁰⁾)
|ψₙ⁽¹⁾⟩ = Σₖ≠ₙ ⟨φₖ|H'|φₙ⟩ / (Eₙ⁽⁰⁾ - Eₖ⁽⁰⁾) |φₖ⟩
    

• Si usa quando gli autostati di H₀ non sono degeneri.
• Esempio: Effetto Stark non degenere, piccole correzioni a sistemi semplici.

1.2 Caso Degenere

H = H₀ + λH'
H₀ |φₙ,a⁽⁰⁾⟩ = Eₙ⁽⁰⁾ |φₙ,a⁽⁰⁾⟩   a=1,…,g
H'ₐb = ⟨φₙ,a⁽⁰⁾|H'|φₙ,b⁽⁰⁾⟩
Diagonalizza H'ₐb nel sottospazio degenere:
Σ_b H'ₐb c_b = E⁽¹⁾ cₐ
Eₙ(λ) = Eₙ⁽⁰⁾ + λE⁽¹⁾ + λ²Eₙ⁽²⁾ + …
|ψₙ(λ)⟩ = Σₐ cₐ|φₙ,a⁽⁰⁾⟩ + λ|ψₙ⁽¹⁾⟩ + …
    

• Si usa quando il livello iniziale è degenere.
• La perturbazione rimuove (in parte o del tutto) la degenerazione.
• Esempio: Zeeman, Stark degenere, struttura fine con degenerazione residua.

1.3 Esempi Fisici di Correzioni

• Cinetica relativistica: H'_rel = -p⁴/(8m³c²)
• Spin-orbita: H'ₗₛ = [1/(2m²c²)] [1/r] [dV/dr] L⋅S
• Darwin: H'_Darwin = [ħ²/(8m²c²)] ∇²V(r) (solo per l=0)
• Zeeman normale: H'_Zeeman = μ_B L_z B
• Zeeman anomalo: H'_Zeeman,an = μ_B g_J J_z B
• Stark: H'_Stark = -e E z

1.4 Teorema di Feynman-Hellmann

dEₙ/dλ = ⟨ψₙ | dH/dλ | ψₙ⟩
    

• Utile per calcolare valori medi (es: ⟨1/r⟩, ⟨1/r²⟩) senza fare integrali espliciti.

H(t) = H₀ + V(t)
iħ ∂/∂t |Ψ(t)⟩ = H(t)|Ψ(t)⟩
|Ψ(t)⟩ = Σₙ cₙ(t) e^(−iEₙ t/ħ) |n⟩
iħ d/dt cₘ(t) = Σₙ Vₘₙ(t) e^{iωₘₙ t} cₙ(t)
Vₘₙ(t) = ⟨m|V(t)|n⟩
ωₘₙ = (Eₘ − Eₙ)/ħ
Primo ordine: c_f^(1)(t) = (1/iħ) ∫₀^t V_{fi}(t') e^{iω_{fi}t'} dt'
P_{i→f}(t) = |c_f^(1)(t)|²
    

• Studia le probabilità di transizione tra stati indotta da una perturbazione tempo-dipendente.
• Formula chiave: P_{i→f}(t) = |c_f^{(1)}(t)|²
• Esempi: impulso, campo oscillante, assorbimento/emissione radiazione.

2.1 Casi particolari

• Perturbazione costante:
  P_{i→f}(t) = (|V_{fi}|²/ħ²) [sin²(ω_{fi}t/2)/(ω_{fi}/2)²]
• Perturbazione periodica: V(t) = V₀ cos(ω t) (risonanza per ω ≈ ω_{fi})

2.2 Regola d’oro di Fermi (transizioni verso il continuo)

Π_{i→f} = (2π/ħ) |⟨f|V|i⟩|² ρ(E_f)
    

• ρ(E_f) = densità di stati finali.
• Fornisce il tasso di transizione per unità di tempo per processi verso il continuo.

2.3 Vita media e larghezza di riga

τ = 1 / Σ_{f ≠ i} Π_{i→f}
Γ = ħ / τ
    

• Vita media (τ) e larghezza di riga (Γ) sono collegate: Γ τ ≈ ħ.

• Perturbazioni stazionarie: correzioni all’energia, \(H'\), anche correzioni relativistiche.
• Perturbazioni dipendenti dal tempo: probabilità di transizione, \(V(t)\), mai correzioni relativistiche.
• Degenerazione: va trattata con cura (diagonalizzazione).
• Feynman-Hellmann: calcolo valori medi senza integrali.