Separazione delle Variabili

Equazione di Schrödinger in 3 Dimensioni

L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo in 3 dimensioni per una particella soggetta a un potenziale \( V(\vec{r}) \) è:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) \]
Per problemi con simmetria sferica, come l'atomo di idrogeno o potenziali centrali, è utile passare alle coordinate sferiche \((r, \theta, \phi)\).

Separazione delle Variabili

Se il potenziale \( V \) dipende solo dalla distanza \( r \) dal centro, possiamo cercare soluzioni del tipo:
\[ \psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y(\theta, \phi) \]
dove \( R(r) \) è la parte radiale e \( Y(\theta, \phi) \) è la funzione angolare. Inserendo questa forma nell'equazione di Schrödinger, otteniamo:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} L^2 Y \right) + V(r) R Y = E R Y \]
La separazione delle variabili porta a due equazioni distinte:

Armoniche Sferiche

Le soluzioni della parte angolare sono le armoniche sferiche \( Y_{\ell}^m (\theta, \phi) \), definite come:
\[ Y_{\ell}^m (\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2\ell + 1)}{4\pi} \frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} P_{\ell}^m (\cos \theta) e^{i m \phi} \]
dove \( P_{\ell}^m \) sono i polinomi associati di Legendre, \( \ell \) è il numero quantico angolare, e \( m \) è il numero quantico magnetico.

Parte Radiale

La parte radiale è determinata dalla soluzione dell'equazione differenziale radiale. Per l'atomo di idrogeno, il potenziale è coulombiano:
\[ V(r) = -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \]
Le soluzioni conducono ai livelli energetici quantizzati:
\[ E_n = -\frac{m e^4}{2 \hbar^2 n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \]

Applicazioni

La separazione delle variabili è essenziale per risolvere problemi con simmetria sferica in fisica quantistica. È utilizzata nello studio di:

Soluzione dettagliata della parte radiale

Per risolvere l'equazione radiale:
\[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \left[ \frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(r) \right) - \frac{\ell (\ell + 1)}{r^2} \right] R = 0 \]
effettuiamo un cambiamento di variabile, introducendo una funzione ausiliaria \( u(r) = r R(r) \), che semplifica il termine \(\frac{1}{r^2}\). Sostituendo:
\[ \frac{\partial R}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{u}{r^2}, \quad \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right) = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}. \]
L'equazione diventa:
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \left[ \frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(r) \right) - \frac{\ell (\ell + 1)}{r^2} \right] u = 0. \]

Livelli energetici quantizzati

Per il potenziale coulombiano \( V(r) = -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \), inseriamo \( V(r) \) nell'equazione e otteniamo la soluzione che conduce ai livelli energetici:
\[ E_n = -\frac{m e^4}{2 \hbar^2 n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \]
La quantizzazione dell'energia segue dalla condizione di normalizzazione delle soluzioni radiali.

Soluzione della parte angolare

La parte angolare è governata dall'equazione degli autovalori per il momento angolare:
\[ L^2 Y_{\ell}^m (\theta, \phi) = \ell (\ell + 1) \hbar^2 Y_{\ell}^m (\theta, \phi). \]
Le armoniche sferiche \( Y_{\ell}^m (\theta, \phi) \) soddisfano:
\[ Y_{\ell}^m (\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2\ell + 1)}{4\pi} \frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} P_{\ell}^m (\cos \theta) e^{i m \phi}. \]
Qui \( P_{\ell}^m (\cos \theta) \) sono i polinomi associati di Legendre. Questi descrivono la dipendenza angolare delle funzioni d'onda.

Interpretazione fisica

La separazione delle variabili consente di ridurre un problema tridimensionale complesso in equazioni più semplici, ciascuna legata a una specifica caratteristica della particella: Questa metodologia è fondamentale per calcolare proprietà quantistiche come distribuzioni di probabilità e spettroscopie atomiche.

Dimostrazione e Proprietà dell'Operatore di Evoluzione

Definizione

L'operatore di evoluzione \( U(t, t_0) \) è definito dalla relazione:
\[ \ket{\psi(t)} = U(t, t_0) \ket{\psi(t_0)} \]
dove \( U(t, t_0) \) soddisfa l'equazione di Schrödinger:
\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t,t_0) = H U(t,t_0) \]

Soluzione Formale

Per un hamiltoniano indipendente dal tempo, la soluzione è:
\[ U(t,t_0) = e^{- \frac{i}{\hbar} (t - t_0) H} \]
Se \( H \) dipende dal tempo, si ottiene la formula integrale:
\[ U(t,t_0) = \mathbb{I} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt' H(t') U(t', t_0). \]

Proprietà

L'operatore di evoluzione ha le seguenti proprietà fondamentali:

Serie di Dyson

Se \( H \) non commuta con sé stesso a tempi diversi, si usa la serie di Dyson:
\[ U(t,t_0) = \mathbb{I} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{i}{\hbar} \right)^n \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H(t_1) H(t_2) \cdots H(t_n). \]
Questa è essenziale nei problemi di interazione e nei formalismi della teoria delle perturbazioni.

Traslazioni nello Spazio e Conservazione dell'Impulso

Simmetrie e Quantità Conservate

In meccanica analitica, una trasformazione associata a una simmetria implica una legge di conservazione. Questo è formalizzato nel Teorema di Noether:

In meccanica quantistica, alle trasformazioni continue associate alle simmetrie corrispondono operatori unitari. Vediamo come questo principio si applica alle traslazioni spaziali e alla conservazione dell'impulso.

Operatore di Traslazione

Consideriamo una traslazione di un vettore infinitesimo \( \delta \vec{a} \) nello spazio tridimensionale. La posizione di una particella varia come:

\( \vec{r} \to \vec{r} + \delta \vec{a}. \)

In meccanica quantistica, questa trasformazione è generata dall'operatore di traslazione infinitesima:

\[ U_T(\delta \vec{a}) = \mathbb{I} - \frac{i}{\hbar} \delta \vec{a} \cdot \hat{\mathbf{P}} \]

Dove \( \hat{\mathbf{P}} \) è l'operatore impulso. Per una traslazione finita \(\vec{a}\), l'operatore diventa:

\[ U_T(\vec{a}) = e^{- \frac{i}{\hbar} \vec{a} \cdot \hat{\mathbf{P}}} \]

Questo dimostra che l'operatore impulso \( \hat{\mathbf{P}} \) è il generatore delle traslazioni spaziali.

Invarianza e Conservazione dell'Impulso

Un sistema si dice omogeneo nello spazio se la sua Hamiltoniana \( \hat{H} \) non dipende esplicitamente dalla posizione. In altre parole, se la traslazione nello spazio non cambia l'Hamiltoniana, allora:

\[ [\hat{H}, \hat{\mathbf{P}}] = 0 \]

Per l'equazione di Heisenberg, la derivata temporale dell'impulso è:

\[ \frac{d}{dt} \hat{\mathbf{P}} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{\mathbf{P}}] = 0. \]

Dunque, \( \hat{\mathbf{P}} \) è un integrale del moto, cioè una grandezza conservata:

\[ \frac{d}{dt} \braket{\hat{\mathbf{P}}} = 0. \]

Questa equazione esprime la conservazione dell'impulso, che è diretta conseguenza dell'omogeneità dello spazio.

Interpretazione del Commutatore

La relazione \( [\hat{H}, \hat{\mathbf{P}}] = 0 \) può essere letta in due modi:

In termini fisici, se una grandezza commuta con l’Hamiltoniana, allora è conservata nel tempo.

Legame con il Momento Angolare

In modo analogo, il momento angolare \( \hat{\mathbf{L}} \) è il generatore delle rotazioni nello spazio. L’invarianza dell’Hamiltoniana rispetto alle rotazioni implica la conservazione del momento angolare:

\[ [\hat{H}, \hat{\mathbf{L}}] = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt} \braket{\hat{\mathbf{L}}} = 0. \]

Questo approfondimento ci porterà alla formulazione completa delle simmetrie e delle leggi di conservazione in meccanica quantistica.

Rotazioni nello Spazio e il Momento Angolare

Operatore di Rotazione

La trasformazione di rotazione nello spazio agisce sulle coordinate secondo:
\[ U_R \psi(\vec{r}) = \psi(R^{-1} \vec{r}) \]
Consideriamo ora una rotazione infinitesima attorno all'asse \( z \), con un piccolo angolo \( \delta \alpha \).

Rotazione infinitesima attorno a \( z \)

La trasformazione delle coordinate è data da:
\[ R_z(\delta \alpha) \begin{cases} x' = \cos\delta\alpha \, x - \sin\delta\alpha \, y \approx x - \delta\alpha \, y \\ y' = \sin\delta\alpha \, x + \cos\delta\alpha \, y \approx \delta\alpha \, x + y \\ z' = z \end{cases} \]
Dato che per piccoli angoli \( \cos\delta\alpha \approx 1 \) e \( \sin\delta\alpha \approx \delta\alpha \), possiamo scrivere:
\[ x' = x + \delta\alpha \, y, \quad y' = y - \delta\alpha \, x, \quad z' = z. \]

Azione dell'operatore di rotazione

L'operatore di rotazione infinitesima agisce sulla funzione d'onda come:
\[ U_{R_z}(\delta \alpha) \psi(\vec{r}) = \psi(R_z^{-1}(\delta\alpha) \vec{r}) \]
Inserendo la trasformazione inversa:
\[ \psi(R_z^{-1}(\delta \alpha) \vec{r}) = \psi(x + \delta\alpha y, y - \delta\alpha x, z). \]
Espandendo al primo ordine in \( \delta \alpha \):
\[ \psi(x + \delta\alpha y, y - \delta\alpha x, z) \approx \psi(x, y, z) + \delta\alpha \, y \frac{\partial \psi}{\partial x} - \delta\alpha \, x \frac{\partial \psi}{\partial y}. \]

Quindi

Questo mostra che per rotazioni infinitesime, l'operatore di rotazione ha la forma:
\[ U_{R_z}(\delta \alpha) = \mathbb{I} - \frac{i}{\hbar} \delta\alpha \hat{L}_z. \]
dove \( \hat{L}_z \) è il generatore delle rotazioni attorno a \( z \), definito come:
\[ \hat{L}_z = x \hat{p}_y - y \hat{p}_x. \]
Questo è il primo passo per comprendere il legame tra il momento angolare e le simmetrie rotazionali nello spazio.

Rotazioni Finite e il Generatore del Momento Angolare

Vettore posizione e generatore delle rotazioni

Nella rappresentazione spaziale, il vettore posizione è scritto come:
\[ \hat{\mathbf{r}} = \sin\theta \cos\varphi \, \hat{\mathbf{x}} + \sin\theta \sin\varphi \, \hat{\mathbf{y}} + \cos\theta \, \hat{\mathbf{z}} \]
Il generatore delle rotazioni è l'operatore momento angolare \( \hat{\mathbf{L}} \), che vedremo esplicitamente nelle rotazioni finite.

Operatore di Rotazione Infinitesima

Abbiamo già visto che per una rotazione infinitesima attorno all'asse \( z \), l'operatore di rotazione agisce come:
\[ U_{R_z}(\delta\alpha) = \mathbb{I} - \frac{i}{\hbar} \delta\alpha \hat{L}_z. \]
Questa è la forma infinitesima, che possiamo generalizzare a una rotazione finita.

Costruzione di una Rotazione Finita

Poiché le rotazioni soddisfano la proprietà di composizione:
\[ U_R(\alpha + \delta\alpha) = U_R(\delta\alpha) U_R(\alpha), \]
possiamo scrivere:
\[ d U_R(\alpha) = U_R(\alpha + \delta\alpha) - U_R(\alpha) = \left(-\frac{i}{\hbar} \delta\alpha \hat{L} \cdot \hat{n} \right) U_R(\alpha). \]
Per ottenere la forma finita, iteriamo questa relazione e troviamo la soluzione esatta:
\[ U_R(\alpha) = e^{- \frac{i}{\hbar} \alpha \hat{L} \cdot \hat{n}}. \]
Questo mostra che il momento angolare \( \hat{L} \) è il generatore delle rotazioni nello spazio.

Interpretazione

- L'operatore di rotazione finito è ottenuto integrando la versione infinitesima. - Il commutatore tra \( H \) e \( L \) determina le leggi di conservazione, esattamente come per l'impulso e le traslazioni. - L'invarianza sotto rotazioni implica la conservazione del momento angolare.

Collegamento con la Quantizzazione del Momento Angolare

Ora che abbiamo derivato il generatore delle rotazioni, possiamo introdurre la quantizzazione del momento angolare. In particolare, vedremo che gli autovalori di \( \hat{L}^2 \) e \( \hat{L}_z \) sono discreti, portando alla definizione dei numeri quantici \( \ell \) e \( m \).

Base Comune per \( \hat{L}^2 \), \( \hat{L}_z \) e \( \hat{H} \)

Un'importante semplificazione nel problema del momento angolare è che gli operatori \( \hat{L}^2 \), \( \hat{L}_z \) e \( \hat{H} \) commutano tra loro:
\[ [\hat{H}, \hat{L}^2] = 0, \quad [\hat{H}, \hat{L}_z] = 0, \quad [\hat{L}^2, \hat{L}_z] = 0. \]
Ciò significa che esiste una base comune di autostati che simultaneamente diagonalizza questi operatori.

Autostati di \( \hat{L}^2 \) e \( \hat{L}_z \)

Gli autovalori degli operatori di momento angolare sono noti:
\[ \hat{L}^2 Y_{\ell}^m (\theta, \phi) = \hbar^2 \ell (\ell + 1) Y_{\ell}^m (\theta, \phi), \]
\[ \hat{L}_z Y_{\ell}^m (\theta, \phi) = \hbar m Y_{\ell}^m (\theta, \phi). \]
Dove \( Y_{\ell}^m (\theta, \phi) \) sono le armoniche sferiche, che formano una base naturale per descrivere sistemi con simmetria sferica.

Forma Generale della Soluzione

Poiché la funzione d'onda \( \psi(\mathbf{r}) \) è autostato simultaneo di \( \hat{L}^2 \), \( \hat{L}_z \) e \( \hat{H} \), possiamo scriverla nella forma:
\[ \psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y_{\ell}^m (\theta, \phi). \]
Qui:

Vantaggi della Separazione

Questa decomposizione semplifica enormemente il problema, poiché: Questo risultato è cruciale per lo studio dell'atomo di idrogeno, dove la separazione delle variabili porta all'equazione radiale di Schrödinger.

Rappresentazioni di Schrödinger e Heisenberg

Definizione delle Due Rappresentazioni

La meccanica quantistica può essere formulata in due descrizioni equivalenti:

Equazione di Schrödinger

L’evoluzione di uno stato \( \ket{\psi_s(t)} \) nella rappresentazione di Schrödinger è governata dall’equazione:
\[ i\hbar \frac{d}{dt} \ket{\psi_s(t)} = H_s \ket{\psi_s(t)} \]
La soluzione formale è:
\[ \ket{\psi_s(t)} = U(t,t_0) \ket{\psi_s(t_0)} \]
con l'operatore di evoluzione:
\[ U(t,t_0) = e^{- \frac{i}{\hbar} (t-t_0) H_s}. \]

Passaggio alla Rappresentazione di Heisenberg

Definiamo la trasformazione degli operatori come:
\[ A_H = U^\dagger A_S U. \]
Derivando rispetto al tempo otteniamo l’equazione di moto di Heisenberg:
\[ \frac{d}{dt} A_H = \frac{i}{\hbar} [H_H, A_H] + \left(\frac{\partial A_S}{\partial t} \right)_H. \]
Se l'operatore non dipende esplicitamente dal tempo, si riduce a:
\[ \frac{d}{dt} A_H = \frac{i}{\hbar} [H_H, A_H]. \]

Confronto tra le Due Rappresentazioni

Schrödinger Heisenberg
\( i\hbar \frac{d}{dt} \ket{\psi_s} = H_s \ket{\psi_s} \) \( \frac{d}{dt} A_H = \frac{i}{\hbar} [H_H, A_H] \)
Gli stati evolvono, gli operatori sono fissi Gli operatori evolvono, gli stati sono fissi
Si usa per il formalismo di stati quantici e funzioni d’onda Si usa per il formalismo delle osservabili e delle equazioni del moto

Ruolo dell'Hamiltoniana

In entrambe le rappresentazioni, l’hamiltoniana determina l’evoluzione, ma il suo ruolo cambia:

Riassuntino:

Le due rappresentazioni sono completamente equivalenti e si possono usare a seconda del contesto: Questa distinzione è essenziale per comprendere sia l’evoluzione quantistica che la relazione tra stati ed osservabili.

La Rappresentazione dell’Interazione

Oltre Schrödinger e Heisenberg

Esiste una terza descrizione della meccanica quantistica, detta **rappresentazione dell’interazione**. Questa è utile quando un sistema può essere descritto come una **hamiltoniana libera** \( H_0 \), che sappiamo risolvere esattamente, più un termine di **interazione** \( H_I \):
\[ H = H_0 + H_I. \]
L'obiettivo è trattare \( H_I \) come una perturbazione su \( H_0 \).

Confronto con le altre rappresentazioni

Definizione della Rappresentazione dell’Interazione

Gli operatori nella rappresentazione dell’interazione sono trasformati rispetto alla base di \( H_0 \):
\[ A_I = e^{\frac{i}{\hbar} H_0 t} A_S e^{-\frac{i}{\hbar} H_0 t}. \]
La funzione d’onda invece evolve con l’interazione:
\[ i\hbar \frac{d}{dt} \ket{\psi_I (t)} = H_I (t) \ket{\psi_I (t)}. \]

Proprietà Fondamentali

Applicazioni

La rappresentazione dell’interazione è fondamentale in:

Prodotto Diretto di Spazi Vettoriali

Definizione dello Spazio Prodotto

Se \( S_1 \) e \( S_2 \) sono due spazi vettoriali lineari, il loro prodotto tensoriale definisce uno spazio combinato:
\[ S = S_1 \otimes S_2. \]
Un qualsiasi stato appartenente allo spazio totale \( S \) si scrive come:
\[ \ket{\psi} = \sum_{i,j} c_{ij} \ket{u_i} \otimes \ket{v_j}. \]

Stati Separabili e Stati Misti

- Uno stato è separabile se può essere scritto come il prodotto di due stati indipendenti nei sottospazi:
\[ \ket{\phi} = \left( \sum_i a_i \ket{u_i} \right) \otimes \left( \sum_j b_j \ket{v_j} \right). \]
In questo caso, i coefficienti del sistema composto sono dati da:
\[ c_{ij} = a_i b_j. \]
- Uno stato è misto quando non può essere scritto come un singolo prodotto tensoriale, ovvero quando i coefficienti \( c_{ij} \) non si fattorizzano in un prodotto di coefficienti indipendenti \( a_i \) e \( b_j \).

Stati Separabili, Entangled e Misti

Un generico stato in uno spazio composto è scritto come:
\[ \ket{\psi} = \sum_{i,j} c_{ij} \ket{u_i} \otimes \ket{v_j}. \]

Stati Separabili

- Uno stato è separabile se i coefficienti \( c_{ij} \) possono essere scritti come il prodotto di due coefficienti indipendenti:
\[ c_{ij} = a_i b_j. \]
In tal caso, lo stato totale si fattorizza come:
\[ \ket{\psi} = \left(\sum_i a_i \ket{u_i} \right) \otimes \left(\sum_j b_j \ket{v_j} \right). \]
- Esempio: Se consideriamo due qubit con basi \( \{ \ket{0}, \ket{1} \} \), uno stato separabile può essere:
\[ \ket{\psi} = (\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}) \otimes (\gamma \ket{0} + \delta \ket{1}). \]

Stati Entangled

- Uno stato è entangled se non può essere scritto come un singolo prodotto tensoriale. Questo accade quando i coefficienti \( c_{ij} \) non si fattorizzano in termini di \( a_i \) e \( b_j \). - Esempio: Uno stato entangled di due qubit è:
\[ \ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{00} + \ket{11}). \]
Qui i coefficienti non possono essere scritti come il prodotto di due insiemi indipendenti, quindi lo stato non è separabile.

Stati Misti

- Gli stati misti sono descritti da una matrice di densità:
\[ \rho = \sum_k p_k \ket{\psi_k} \bra{\psi_k}. \]
- Se un sistema è in \( \ket{\psi_k} \) con probabilità \( p_k \), lo descriviamo con la matrice \( \rho \). - Uno stato misto non è necessariamente entangled. Per esempio:
\[ \rho = \frac{1}{2} \ket{00} \bra{00} + \frac{1}{2} \ket{11} \bra{11} \]
non è entangled, ma rappresenta una statistica di misura su \( \ket{00} \) e \( \ket{11} \).

Interpretazione Fisica

- Stati separabili: Descrivono sistemi in cui le parti sono indipendenti e non hanno correlazioni quantistiche. - Stati entangled: Le due parti del sistema sono correlate in modo non classico, indipendentemente dalla distanza. - Stati misti: Descrivono una statistica di miscele di stati puri, usati per trattare decoerenza e rumore nei sistemi quantistici. La matrice di densità \( \rho \) per un sistema a due stati può essere espressa nella base \( \{ \ket{0}, \ket{1} \} \) come:
\[ \rho = \begin{bmatrix} \rho_{00} & \rho_{01} \\ \rho_{10} & \rho_{11} \end{bmatrix}. \]
Dove gli elementi sono definiti come:
\[ \rho_{ij} = \langle i | \rho | j \rangle. \]
Un esempio di stato misto è:
\[ \rho = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \]
che rappresenta uno stato completamente depolarizzato (massima incertezza su \( \ket{0} \) e \( \ket{1} \)).

Importanza del Prodotto Tensoriale

- Il prodotto diretto è fondamentale per descrivere sistemi quantistici composti. - In meccanica quantistica multi-particella, permette di trattare stati con più gradi di libertà. - La distinzione tra stati separabili, entangled e misti è cruciale nella teoria dell'informazione quantistica, nella computazione quantistica e nell'interpretazione della non-località quantistica. Indice, 1D\[\Rightarrow\]3D

Estensione alla Terza Dimensione

Introduzione dello Spazio 3D

Fino a ora abbiamo considerato uno spazio a una dimensione, in cui l'operatore posizione \( \hat{x}_1 \) agisce su autostati della coordinata \( x_1 \). Ora estendiamo questa descrizione a **tre dimensioni**, definendo il vettore posizione:
\[ \hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1, \hat{x}_2, \hat{x}_3)^T. \]
Gli autostati della posizione tridimensionale sono il prodotto tensoriale degli autostati nelle singole coordinate:
\[ \ket{x} = \ket{x_1} \otimes \ket{x_2} \otimes \ket{x_3}. \]

Estensione dell'Operatore \( \hat{x}_1 \)

L'operatore \( \hat{x}_1 \) si estende naturalmente al sottospazio tridimensionale agendo solo sulla prima coordinata:
\[ \hat{x}_1 \ket{x_1} = x_1 \ket{x_1}. \]
Poiché lo stato tridimensionale è un prodotto tensoriale, possiamo scrivere:
\[ \hat{x}_1 \ket{x} = \hat{x}_1 (\ket{x_1} \otimes \ket{x_2} \otimes \ket{x_3}). \]
Poiché \( \hat{x}_1 \) agisce solo su \( \ket{x_1} \), otteniamo:
\[ \hat{x}_1 \ket{x} = x_1 \ket{x}. \]

Identità Operatore nel Sottospazio

Un'operazione simile vale per \( \hat{x}_2 \) e \( \hat{x}_3 \), permettendoci di scrivere la relazione completa:
\[ \hat{\mathbf{x}} \ket{x} = x \ket{x}. \]
dove \( x \) è il vettore posizione. Questa estensione permette di passare dalla rappresentazione 1D alla 3D in modo naturale.

Concludendo

L'estensione di \( \hat{x}_1 \) al sottospazio 3D è il primo passo per costruire operatori in uno spazio tridimensionale, in cui ciascun operatore agisce su una componente specifica, lasciando inalterate le altre. Quella che a un certo punto abbiamo chiamato funzione d'onda poi abbiamo imparato esser un rappresentativo di uno stato nella base delle coordinate, che in realtà è il prodotto diretto delle basi, quindi questo è il rappresentativo:
\[ \langle \vec{x} | \psi \rangle = \Psi(\vec{x}) \]

In generale un rappresentativo non è dato da un prodotto di funzioni.

\[ \Psi(\vec{x}) \neq \Psi_1(x_1) \cdot \Psi_2(x_2) \cdot \Psi_3(x_3) \]
Ci son condizioni per studiare il rappresentativo(nella base delle coordinate) come prodotto di funzioni. Quel che abbiamo fatto per lo spazio tridimensionale, è pensato per componenti di un vettore base ma possiamo pensare a un qualcosa di analogo in un Sistema di N particelle Ritorna all'Indice