Testo + soluzioni super-dettagliate (con passaggi “banali” inclusi). Dove manca un dato fisico (es. potenza della lampadina) faccio un’assunzione esplicita e ti lascio la formula generale.
Si consideri una comune lampadina di uso domestico. Quanti fotoni nel visibile (lunghezza d’onda: \(\lambda \simeq 600\,\mathrm{nm}\)) vengono emessi ogni secondo?
L’energia di un fotone vale: \[ E_\gamma=\frac{hc}{\lambda}. \] Usiamo: \(h=6.626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\), \(c=3.00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\), \(\lambda=600\,\mathrm{nm}=600\times10^{-9}\,\mathrm{m}=6.00\times10^{-7}\,\mathrm{m}\).
Calcolo “banale” di \(hc\): \[ hc=(6.626\times10^{-34})(3.00\times10^8) =(6.626\cdot 3.00)\times10^{-26} =19.878\times10^{-26} =1.9878\times10^{-25}\,\mathrm{J\,m}. \]
Ora divido per \(\lambda=6.00\times10^{-7}\,\mathrm{m}\): \[ E_\gamma=\frac{1.9878\times10^{-25}}{6.00\times10^{-7}} =\left(\frac{1.9878}{6.00}\right)\times10^{-18} =0.3313\times10^{-18} =3.313\times10^{-19}\,\mathrm{J}. \]
Se la lampadina emette nel visibile una potenza \(P_{\text{vis}}\) (in watt = J/s), il numero di fotoni al secondo è: \[ \dot N=\frac{P_{\text{vis}}}{E_\gamma} =\frac{P_{\text{vis}}}{hc/\lambda} =\frac{P_{\text{vis}}\lambda}{hc}. \]
Se conosci solo la potenza elettrica \(P\) e una frazione \(\eta\) finisce nel visibile, allora \(P_{\text{vis}}=\eta P\) e quindi \(\dot N=\eta\,\dfrac{P}{E_\gamma}\).
Assumo (stima “massima”) \(P_{\text{vis}}=60\,\mathrm{W}=60\,\mathrm{J/s}\).
\[ \dot N=\frac{60}{3.313\times10^{-19}} =\left(\frac{60}{3.313}\right)\times10^{19} \approx 18.11\times10^{19} =1.811\times10^{20}\ \text{fotoni/s}. \]
(Ho fatto: \(60/3.313 \approx 18.11\).)
Formula “scalabile”: \[ \boxed{\dot N \approx 1.8\times10^{20}\,\Bigl(\frac{P_{\text{vis}}}{60\,\mathrm{W}}\Bigr)\ \text{fotoni/s}} \]
In un esperimento sull’effetto fotoelettrico, luce monocromatica su una superficie di potassio. Il potenziale di arresto è \(V_s=1.91\,\mathrm{V}\) per \(\lambda=3000\,\text{\AA}\) e \(V_s=0.88\,\mathrm{V}\) per \(\lambda=4000\,\text{\AA}\). Calcolare:
(a) il valore della costante di Planck sapendo che \(e=1.60\times10^{-19}\,\mathrm{C}\)
(b) il potenziale di estrazione \(W\) del potassio
(c) la frequenza di soglia dell’effetto
L’equazione di Einstein (energia del fotone = lavoro di estrazione + energia cinetica massima) è: \[ h\nu = W + K_{\max}. \] Il potenziale di arresto \(V_s\) annulla l’energia cinetica massima: \[ K_{\max}=eV_s. \] Quindi: \[ eV_s = h\nu - W = \frac{hc}{\lambda} - W. \]
Dati: \[ V_1=1.91\,\mathrm{V},\quad \lambda_1=3000\,\text{\AA};\qquad V_2=0.88\,\mathrm{V},\quad \lambda_2=4000\,\text{\AA}. \] Conversione angstrom → metri: \[ 1\,\text{\AA}=10^{-10}\,\mathrm{m}. \] Quindi: \[ \lambda_1=3000\times10^{-10}=3.000\times10^{-7}\,\mathrm{m},\qquad \lambda_2=4000\times10^{-10}=4.000\times10^{-7}\,\mathrm{m}. \]
Le due equazioni: \[ eV_1=\frac{hc}{\lambda_1}-W,\qquad eV_2=\frac{hc}{\lambda_2}-W. \]
Sottraggo la seconda dalla prima: \[ e(V_1-V_2)=hc\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right). \] Quindi: \[ h=\frac{e(V_1-V_2)}{c\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right)}. \]
Calcoli “banali”:
1) Differenza di potenziale: \[ V_1-V_2 = 1.91-0.88 = 1.03\ \mathrm{V}. \]
2) \(e(V_1-V_2)\): \[ e(V_1-V_2)=(1.60\times10^{-19})\cdot 1.03 =(1.60\cdot 1.03)\times10^{-19} =1.648\times10^{-19}\,\mathrm{J}. \]
3) Calcolo \(\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right)\): \[ \frac{1}{\lambda_1}=\frac{1}{3.000\times10^{-7}} =\frac{1}{3.000}\times10^{7} =0.333333\ldots\times10^{7} =3.333333\times10^{6}\,\mathrm{m^{-1}}, \] \[ \frac{1}{\lambda_2}=\frac{1}{4.000\times10^{-7}} =\frac{1}{4.000}\times10^{7} =0.25\times10^{7} =2.5\times10^{6}\,\mathrm{m^{-1}}. \] Differenza: \[ \frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2} =(3.333333-2.5)\times10^{6} =0.833333\times10^{6} =8.33333\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}. \]
4) Moltiplico per \(c=3.00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\): \[ c\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right) =(3.00\times10^{8})(8.33333\times10^{5}) =(3.00\cdot 8.33333)\times10^{13} =25.0\times10^{13} =2.50\times10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}. \]
5) Ora divido: \[ h=\frac{1.648\times10^{-19}}{2.50\times10^{14}} =\left(\frac{1.648}{2.50}\right)\times10^{-33} =0.6592\times10^{-33} =6.592\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}. \]
(Valore “vero” noto: \(6.626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\): ci siamo molto vicini.)
Uso una delle due equazioni, ad esempio la prima: \[ W=\frac{hc}{\lambda_1}-eV_1. \]
1) Calcolo \(hc\): \[ hc=(6.592\times10^{-34})(3.00\times10^8) =(6.592\cdot 3.00)\times10^{-26} =19.776\times10^{-26} =1.9776\times10^{-25}\,\mathrm{J\,m}. \]
2) Divido per \(\lambda_1=3.000\times10^{-7}\,\mathrm{m}\): \[ \frac{hc}{\lambda_1} =\frac{1.9776\times10^{-25}}{3.000\times10^{-7}} =\left(\frac{1.9776}{3.000}\right)\times10^{-18} =0.6592\times10^{-18} =6.592\times10^{-19}\,\mathrm{J}. \]
3) Calcolo \(eV_1\): \[ eV_1=(1.60\times10^{-19})\cdot 1.91 =(1.60\cdot 1.91)\times10^{-19} =3.056\times10^{-19}\,\mathrm{J}. \]
4) Sottraggo: \[ W = 6.592\times10^{-19}-3.056\times10^{-19} =(6.592-3.056)\times10^{-19} =3.536\times10^{-19}\,\mathrm{J}. \]
Se lo voglio in eV (divido per \(e=1.60\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}\)): \[ W_{\mathrm{eV}}=\frac{3.536\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}=\frac{3.536}{1.60}=2.21\,\mathrm{eV}. \]
La soglia è quando l’energia cinetica massima va a zero: \(eV_s=0\Rightarrow h\nu_0=W\). Quindi: \[ \nu_0=\frac{W}{h}. \]
Inserisco i numeri: \[ \nu_0=\frac{3.536\times10^{-19}}{6.592\times10^{-34}} =\left(\frac{3.536}{6.592}\right)\times10^{15} =0.5364\times10^{15} =5.364\times10^{14}\,\mathrm{Hz}. \]
(Equivalente lunghezza d’onda di soglia: \(\lambda_0=\dfrac{c}{\nu_0}\approx \dfrac{3.00\times10^{8}}{5.36\times10^{14}}\approx 5.6\times10^{-7}\,\mathrm{m}\approx 560\,\mathrm{nm}\).)
Esperimento di Davisson e Germer sulla diffrazione di elettroni da cristallo.
L’esperimento di Davisson–Germer (1927) mostra che un fascio di elettroni, quando viene diffuso da un cristallo (es. Nickel), produce massimi e minimi di intensità in funzione dell’angolo, esattamente come farebbe un’onda che subisce diffrazione. Questo conferma la natura ondulatoria della materia (ipotesi di de Broglie).
Un elettrone con quantità di moto \(p\) ha lunghezza d’onda di de Broglie: \[ \lambda_{dB}=\frac{h}{p}. \] Se l’elettrone è accelerato da una differenza di potenziale \(V\), (regime non relativistico) la sua energia cinetica vale \(K=eV=\frac{p^2}{2m_e}\), quindi: \[ p=\sqrt{2m_e eV} \quad\Rightarrow\quad \lambda_{dB}=\frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}. \]
Il cristallo funziona come “reticolo” con passo \(d\). La condizione per massimi di diffrazione è la legge di Bragg: \[ 2d\sin\theta = n\lambda_{dB}\qquad (n=1,2,3,\dots). \] Quindi i picchi osservati sperimentalmente “misurano” \(\lambda_{dB}\) e sono compatibili con la formula di de Broglie.
Si consideri un granello di polvere di diametro \(d=10^{-6}\,\mathrm{m}\), massa \(m=10^{-15}\,\mathrm{kg}\), che si muove con velocità \(v=10^{-3}\,\mathrm{m/s}\). Calcolare la lunghezza d’onda di de Broglie. Ci si aspetta che gli effetti quantistici siano rilevanti? Motivare.
La quantità di moto classica è: \[ p = mv. \] Inserisco i dati: \[ p=(10^{-15}\,\mathrm{kg})(10^{-3}\,\mathrm{m/s})=10^{-18}\,\mathrm{kg\,m/s}. \]
\[ \lambda_{dB}=\frac{h}{p}. \] Con \(h\simeq 6.626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\): \[ \lambda_{dB}=\frac{6.626\times10^{-34}}{10^{-18}} =6.626\times10^{-16}\,\mathrm{m}. \]
Il diametro del granello è \(d=10^{-6}\,\mathrm{m}\). Confronto: \[ \frac{\lambda_{dB}}{d}=\frac{6.6\times10^{-16}}{10^{-6}}=6.6\times10^{-10}. \] Quindi \(\lambda_{dB}\) è circa 10 miliardi di volte più piccola della dimensione del granello.
Si consideri un fascio di neutroni termici, \(m_n=1.67\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}\),
a temperatura \(T=300\,\mathrm{K}\), che incidono su un reticolo cristallino con un passo reticolare dell’ordine
dell’Ångström (\(10^{-10}\,\mathrm{m}\)).
Quali effetti si osserveranno? Motivare.
[Per un neutrone termico l’energia è \(E=\frac{3}{2}kT\)
(\(k=1.38\cdot10^{-23}\,\mathrm{J/K}\) costante di Boltzmann).]
\[ E=\frac{3}{2}kT. \] Inserisco \(k=1.38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}\) e \(T=300\,\mathrm{K}\):
Prima calcolo \(kT\): \[ kT=(1.38\times10^{-23})\cdot 300 =(1.38\cdot 300)\times10^{-23} =414\times10^{-23} =4.14\times10^{-21}\,\mathrm{J}. \]
Poi moltiplico per \(3/2=1.5\): \[ E=\frac{3}{2}kT=1.5\cdot 4.14\times10^{-21} =6.21\times10^{-21}\,\mathrm{J}. \]
Per un neutrone non relativistico: \[ E=\frac{p^2}{2m_n} \quad\Rightarrow\quad p=\sqrt{2m_nE}. \]
Calcolo \(2m_nE\): \[ 2m_nE = 2\cdot (1.67\times10^{-27})\cdot (6.21\times10^{-21}). \] Prima \(2\cdot 1.67 = 3.34\). Poi \(3.34\cdot 6.21 = 20.7414\). Quindi: \[ 2m_nE = 20.7414\times10^{-48} = 2.07414\times10^{-47}. \]
Ora la radice: \[ p=\sqrt{2.07414\times10^{-47}} =\sqrt{2.07414}\times10^{-23.5}. \] \(\sqrt{2.07414}\approx 1.44\). Inoltre \(10^{-23.5}=10^{-23}\cdot 10^{-0.5}=10^{-23}\cdot 0.316\). Quindi: \[ p \approx 1.44\cdot 0.316 \times10^{-23} \approx 0.455 \times10^{-23} =4.55\times10^{-24}\,\mathrm{kg\,m/s}. \]
\[ \lambda_{dB}=\frac{h}{p}. \] Con \(h=6.626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\) e \(p\approx 4.55\times10^{-24}\): \[ \lambda_{dB}\approx \frac{6.626\times10^{-34}}{4.55\times10^{-24}} =\left(\frac{6.626}{4.55}\right)\times10^{-10} \approx 1.46\times10^{-10}\,\mathrm{m}. \]
Il passo reticolare è dell’ordine di \(d\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}\sim 1\,\text{\AA}\). Abbiamo trovato \(\lambda_{dB}\sim 1.46\,\text{\AA}\), quindi comparabile a \(d\).