Simmetrizzazione dei Prodotti

Nel passaggio dalla descrizione classica a quella quantistica, la costruzione degli operatori per gli osservabili può risultare ambigua quando tali osservabili coinvolgono prodotti non banali di variabili, come posizione e impulso. Ad esempio, se un osservabile classico è dato da \( f(x,p) = x p \), la sua controparte quantistica non è triviale, poiché gli operatori \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\) non commutano. Un modo sistematico per definire operatori quantistici a partire da espressioni classiche è usare la **simmetrizzazione dei prodotti**, ovvero costruire la media simmetrica di tutte le permutazioni possibili degli operatori coinvolti.

L’idea è: se a livello classico abbiamo un prodotto \(x p\), nel quantistico corrispondente potremmo definire:

Perché Simmetrizzare?

Nella meccanica quantistica, \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\) soddisfano la relazione di commutazione \([ \hat{x}, \hat{p} ] = i \hbar\). Il problema sorge quando si tenta di quantizzare un osservabile classico come \(x p\), \(x p^2\), o combinazioni ancora più complesse. Definire semplicemente \(\hat{x}\hat{p}\) non garantisce l’hermiticità. La simmetrizzazione (anche detta Weyl ordering o ordinamento simmetrico) fornisce un criterio naturale per associare a una funzione classica di variabili canoniche un operatore hermitiano.

Un Esempio

Supponiamo di voler quantizzare l’osservabile classico \(x p\). Senza altri criteri, si potrebbe dire che la versione quantistica è \(\hat{x}\hat{p}\), ma questo operatore non è hermitiano, poiché \((\hat{x}\hat{p})^\dagger = \hat{p}\hat{x} \neq \hat{x}\hat{p}\). Invece, definendo:

Alla Lavagna

Approccio Generale

Nel caso di osservabili più complessi, come \(f(x,p) = x^2 p + p x^2\) o funzioni arbitrariamente complicate di \(x\) e \(p\), la simmetrizzazione prevede di considerare tutte le permutazioni degli operatori e fare la media. Questo processo, sebbene talvolta laborioso, assicura che all’osservabile classico corrisponda un operatore ben definito, hermitiano e coerente con i principi quantistici. Spesso la simmetrizzazione è correlata all’ordinamento di Weyl, una procedura che generalizza questa idea a osservabili più generali.

Così, la simmetrizzazione dei prodotti non è semplicemente un’operazione formale, ma è un passaggio necessario per preservare la struttura matematica e probabilistica della meccanica quantistica, fornendo un algoritmo per la quantizzazione di sistemi classici in modo non ambiguo.

Dettagli e Passaggi Matematici della Simmetrizzazione

Affinché il procedimento di simmetrizzazione sia chiaro, consideriamo più nel dettaglio come si effettua questa operazione alla lavagna, illustrando i passaggi matematici e l’idea dietro la definizione di un osservabile quantistico simmetrizzato. Immaginiamo di dover quantizzare un generico prodotto di variabili canoniche, ad esempio \(x p^2\) o \(x^2 p\). Nel formalismo quantistico:

1. Individuare l’osservabile classico: Scrivi sulla lavagna un’osservabile classico, ad esempio: \[ f(x,p) = x p + p x. \] In meccanica classica, l’ordine del prodotto non conta, poiché \(x\) e \(p\) sono semplici numeri. Tuttavia, in meccanica quantistica \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\) sono operatori non commutanti.
2. Sostituzione dei numeri con operatori: Per quantizzare, rimpiazziamo \(x\) con \(\hat{x}\) e \(p\) con \(\hat{p}\). Senza ulteriori prescrizioni, si potrebbe scrivere: \[ f(x,p) \to \hat{f}(\hat{x},\hat{p}) = \hat{x}\hat{p} \quad \text{o} \quad \hat{p}\hat{x}. \] Ma poiché \(\hat{x}\hat{p} \neq \hat{p}\hat{x}\), sorge l’ambiguità: quale ordine usare?
3. Commutazione e Hermiticità: Scrivi la relazione di commutazione: \[ [\hat{x},\hat{p}] = i\hbar. \] Nota che \(\hat{x}\hat{p}\) non è hermitiano: infatti \((\hat{x}\hat{p})^\dagger = \hat{p}^\dagger \hat{x}^\dagger = \hat{p}\hat{x}\). Se \(\hat{x}\hat{p}\) fosse hermitiano, dovremmo avere \(\hat{x}\hat{p} = \hat{p}\hat{x}\), ma così non è.
4. Simmetrizzazione come media di tutte le permutazioni: Introduci l’idea della simmetrizzazione: prendere tutte le permutazioni degli operatori coinvolti e farne la media. Per due operatori, \(x\) e \(p\): \[ f(x,p)=xp \implies \hat{f}=\frac{\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x}}{2}. \] Questo garantisce che \(\hat{f}\) sia hermitiano. Alla lavagna, puoi mostrare che \((\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x})^\dagger = \hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x}\), verificando l’hermiticità.
5. Estensione a casi più complessi: Se l’osservabile classico è più complesso, ad esempio \(f(x,p)=x^2 p + p x^2\), si considerano tutte le permutazioni simmetriche di \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\) e si fa la media. Ad esempio, per tre operatori, se hai una funzione simile a \(x p x\), la simmetrizzazione considererà le permutazioni \(\hat{x}\hat{p}\hat{x}\), \(\hat{p}\hat{x}\hat{x}\) e \(\hat{x}\hat{x}\hat{p}\), e ne formerà una combinazione simmetrica in modo da ottenere un operatore hermitiano.
6. Significato fisico: Sulla lavagna, dopo aver ottenuto l’operatore simmetrizzato, spiega che questa procedura è necessaria per conservare il legame tra osservabili e valori reali misurabili. Senza la simmetrizzazione, potremmo ottenere operatori non hermitiani, con autovalori complessi, rendendo prive di senso le previsioni della teoria per quell’osservabile.

In conclusione, la simmetrizzazione dei prodotti è la ricetta che collega in modo univoco le funzioni classiche di variabili di fase (x, p) con gli operatori quantistici corrispondenti, assicurando l’ermiticità e, di conseguenza, la possibilità di interpretare i risultati delle misure in modo coerente con la struttura probabilistica della meccanica quantistica.