Soluzione dell’Equazione di Schrödinger

L’equazione di Schrödinger, il cardine della meccanica quantistica non relativistica, fornisce la dinamica dello stato del sistema tramite la funzione d’onda \( \psi(\mathbf{r},t) \). Risolverla significa trovare \(\psi(\mathbf{r},t)\) che soddisfa:

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r}, t) = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right]\psi(\mathbf{r}, t). \]

La complessità di questa equazione può variare enormemente a seconda della forma del potenziale \( V(\mathbf{r},t) \). Non esiste una soluzione unica o generale per tutti i casi, ma approcci e metodi che consentono di trattare varie situazioni.

Separazione delle Variabili e Stati Stazionari

Se il potenziale non dipende dal tempo, \(V(\mathbf{r}, t)=V(\mathbf{r})\), è possibile cercare soluzioni del tipo:

\[ \psi(\mathbf{r}, t) = \phi(\mathbf{r})e^{-iE t/\hbar}. \]

Sostituendo nell’equazione di Schrödinger si ottiene l’equazione agli autovalori:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) = E\phi(\mathbf{r}). \]

Questa è l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo, che determina gli stati stazionari con energia \(E\). Le soluzioni \(\phi(\mathbf{r})\) formano una base di stati, e la soluzione generale sarà una sovrapposizione di tali stati:

\[ \psi(\mathbf{r}, t) = \sum_n c_n \phi_n(\mathbf{r}) e^{-iE_n t/\hbar}, \] dove \(\phi_n(\mathbf{r})\) sono le autofunzioni e \(E_n\) i corrispondenti autovalori.

Potenziali Tempo-Dipendenti e Sviluppo in Autofunzioni

Se \(V(\mathbf{r},t)\) dipende dal tempo, la separazione delle variabili generalmente non è possibile. Un approccio è espandere la soluzione in una base di autofunzioni dell’Hamiltoniano istantaneo o di un operatore semplice:

\[ \psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n(t) \phi_n(\mathbf{r}), \] dove i coefficienti \(c_n(t)\) soddisfano un sistema di equazioni differenziali ordinarie nel tempo. Questa procedura riduce il problema a un sistema di equazioni accoppiate, una strategia frequente nello studio di perturbazioni tempo-dipendenti.

Approcci Analitici e Metodi Approx

Le soluzioni esplicite si ottengono raramente in forma chiusa. Ci sono alcuni potenziali classici per i quali le soluzioni analitiche sono note, ad esempio:

In molti altri casi, si ricorre a metodi approssimati:

Alla Lavagna

1. Scrivi l’equazione time-dependent: \[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)=\hat{H}\psi(\mathbf{r},t) \] Dove \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\).

2. Supponi \(V(\mathbf{r}, t)=V(\mathbf{r})\) costante nel tempo, prova \(\psi(\mathbf{r},t)=\phi(\mathbf{r})e^{-iEt/\hbar}\).

3. Ottieni l’equazione agli autovalori: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) = E\phi(\mathbf{r}) \]

4. Mostra che la soluzione generale è una combinazione lineare degli autofunzioni: \[ \psi(\mathbf{r},t)=\sum_n c_n \phi_n(\mathbf{r})e^{-iE_n t/\hbar}. \] 5. Se \(V(\mathbf{r},t)\) è tempo-dipendente, espandi \(\psi(\mathbf{r},t)\) in una base completa e ottieni equazioni per \(c_n(t)\).

6. Rappresenta l’idea di metodi approssimati: ad esempio, mostrare un intervallo spaziale discretizzato per un metodo numerico.

Interpretazione Fisica

La soluzione dell’equazione di Schrödinger fornisce l’evoluzione completa del sistema. In presenza di stati stazionari, possiamo descrivere stati con energia definita. In situazioni più complesse, la sovrapposizione di molti stati può generare dinamiche ricche, come oscillazioni, fenomeni di interferenza, tunneling e transizioni indotte dal tempo. L’ampia varietà di metodi riflette la natura intricata dei problemi quantistici, dove la soluzione raramente è semplice, ma gli strumenti matematici e numerici disponibili permettono di affrontare una grande varietà di situazioni fisiche.

Approfondimento dei Passaggi Matematici sulla Lavagna

Per comprendere con chiarezza la procedura di soluzione dell'equazione di Schrödinger, possiamo mostrare come i vari passaggi vengano visualizzati alla lavagna. Questo aiuta a mettere in evidenza le strategie standard adottate nella risoluzione, sia per problemi a potenziale costante nel tempo, sia per quelli tempo-dipendenti:

  1. Partenza dall’equazione completa:
    Sulla lavagna, scrivi: \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r}, t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t)\right)\psi(\mathbf{r}, t). \] Spiega che lo scopo è trovare \(\psi(\mathbf{r},t)\) per un dato \(V(\mathbf{r}, t)\). Se \(V\) è noto e non dipende dal tempo, puoi tentare la separazione delle variabili.
  2. Separazione delle variabili in caso di potenziale tempo-indipendente:
    Scrivi il tentativo: \(\psi(\mathbf{r}, t) = \phi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar}\). Mostra che inserendo questa ansatz nell’equazione, i termini temporali si separano, lasciando un’equazione agli autovalori spaziale: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) = E \phi(\mathbf{r}). \] Indica come questa sia un’equazione differenziale in \(\mathbf{r}\) che determina le autofunzioni \(\phi_n(\mathbf{r})\) e i livelli energetici \(E_n\). Alla lavagna, potresti ad esempio considerare il caso di una buca di potenziale e mostrare come le condizioni al contorno portino a soluzioni sinusoidali e a un insieme discreto di energie.
  3. Sovrapposizione e soluzioni generali:
    Una volta trovate le soluzioni stazionarie \(\phi_n(\mathbf{r})\) con energie \(E_n\), illustra come costruire la soluzione generale: \[ \psi(\mathbf{r}, t) = \sum_n c_n \phi_n(\mathbf{r}) e^{-iE_n t/\hbar}. \] Sulla lavagna, evidenzia che i coefficienti \(c_n\) si determinano dalle condizioni iniziali \(\psi(\mathbf{r},0)\). Ciò mostra la linearità dell’equazione e come la combinazione di stati stazionari fornisca pacchetti d’onda complessi e dinamici.
  4. Potenziali dipendenti dal tempo:
    Se \(V(\mathbf{r},t)\) varia nel tempo, scrivi: \[ \psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n(t)\phi_n(\mathbf{r}) \] dove \(\{\phi_n(\mathbf{r})\}\) sono una base scelta (non necessariamente autostati dell’Hamiltoniano ad ogni istante). Mostra come inserendo questa espansione nell’equazione di Schrödinger si ottenga un sistema di equazioni differenziali per i \(c_n(t)\). Questo riduce il problema ad un approccio numerico o perturbativo. Alla lavagna puoi mostrare uno schema a blocchi: dallo stato iniziale si evolve nel tempo calcolando come i coefficienti \(c_n(t)\) cambiano a causa del potenziale tempo-dipendente.
  5. Metodi approssimati e numerici:
    Non tutti i potenziali consentono soluzioni analitiche. Disegna sulla lavagna un asse spaziale e mostra un potenziale complicato \(V(x)\). Spiega che per questo caso si possono usare: - Metodi perturbativi: se \(V(x)\) può essere considerato come \(V_0(x) + V'(x)\) con \(V'(x)\) piccolo, si sviluppano soluzioni approssimate. - Metodo WKB: per potenziali lenti e variabili, si approssima la funzione d’onda con forme esponenziali o sinusoidali a fase variabile. - Metodi numerici: discretizza lo spazio, approssima le derivate con differenze finite, e risolvi numericamente l’equazione agli autovalori o il sistema differenziale nel tempo.

Così, sulla lavagna hai mostrato un quadro completo: dall’equazione generale, alla separazione variabili per potenziali statici, alla costruzione di soluzioni generali come combinazioni lineari di autostati, fino all’affrontare potenziali tempo-dipendenti con metodi più avanzati. Questo panorama spiega perché, nonostante non esista una formula “generale” di soluzione, la meccanica quantistica dispone di una serie di strumenti e stratagemmi matematici e numerici per affrontare una grande varietà di problemi fisici.

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