La somma dei momenti angolari spinoriali di due particelle rappresenta un caso fondamentale nella meccanica quantistica. Questo argomento è di particolare importanza per comprendere la costruzione degli stati quantistici combinati e la manipolazione degli stati di spin negli esperimenti di fisica quantistica.
Consideriamo due particelle con momento angolare intrinseco (spin) \(\mathbf{S}_1\) e \(\mathbf{S}_2\). Gli operatori associati soddisfano le consuete relazioni di commutazione: \[ [S_{i,x}, S_{i,y}] = i\hbar S_{i,z}, \quad [S_{i,y}, S_{i,z}] = i\hbar S_{i,x}, \quad [S_{i,z}, S_{i,x}] = i\hbar S_{i,y}. \]
La somma dei momenti angolari spinoriali è definita come: \[ \mathbf{S} = \mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2. \]
Gli autovalori del modulo quadrato del momento angolare totale, \(S^2\), e della sua componente lungo l'asse \(z\), \(S_z\), determinano lo stato del sistema combinato. Le formule generali sono: \[ S^2 |s, m_s\rangle = \hbar^2 s(s+1) |s, m_s\rangle, \] \[ S_z |s, m_s\rangle = \hbar m_s |s, m_s\rangle, \] dove \(s\) è il numero quantico del momento angolare totale, che può assumere i valori: \[ s = s_1 + s_2, s_1 + s_2 - 1, \ldots, |s_1 - s_2|. \]
Nel caso di due particelle con spin \(\frac{1}{2}\), le regole sopra si specializzano. Gli stati possibili sono costruiti dalla combinazione lineare degli stati di base: \[ |\uparrow\uparrow\rangle, \quad |\uparrow\downarrow\rangle, \quad |\downarrow\uparrow\rangle, \quad |\downarrow\downarrow\rangle. \]
Gli stati combinati si dividono in un tripletto di spin \(s=1\) e un singoletto di spin \(s=0\):
I coefficienti di Clebsch-Gordan forniscono i pesi delle combinazioni lineari degli stati base. Nel caso di due spin \(\frac{1}{2}\), i coefficienti sono direttamente legati agli stati combinati:
Consideriamo due particelle, ciascuna con spin \(\frac{1}{2}\). Gli stati base del sistema combinato possono essere rappresentati come prodotti tensoriali degli stati singoli: \[ |\uparrow\uparrow\rangle, \quad |\uparrow\downarrow\rangle, \quad |\downarrow\uparrow\rangle, \quad |\downarrow\downarrow\rangle, \] dove \(|\uparrow\rangle\) e \(|\downarrow\rangle\) rappresentano rispettivamente gli stati con \(m_s = +\frac{1}{2}\) e \(m_s = -\frac{1}{2}\).
La somma dei due spin produce uno spazio totale con \(s = s_1 + s_2 = 1\) (tripletto) e \(s = s_1 - s_2 = 0\) (singoletto).
Gli stati del tripletto (\(s=1\)) sono definiti come segue: \[ |1, 1\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle, \quad m_s = +1, \] \[ |1, 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle\right), \quad m_s = 0, \] \[ |1, -1\rangle = |\downarrow\downarrow\rangle, \quad m_s = -1. \]
Questi stati rappresentano il momento angolare totale \(s = 1\) e i corrispondenti valori di \(m_s\), che vanno da \(+1\) a \(-1\).
Lo stato singoletto (\(s=0\)) è definito come: \[ |0, 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle\right), \quad m_s = 0. \]
In questo caso, il momento angolare totale \(s = 0\) e \(m_s = 0\), con una combinazione degli stati base che porta a uno stato antisimmetrico.
Gli stati combinati possono essere espressi in termini di base tensoriale utilizzando i coefficienti di Clebsch-Gordan. Ad esempio, lo stato \(|1, 0\rangle\) può essere scritto come: \[ |1, 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|s_1 = \frac{1}{2}, m_1 = +\frac{1}{2}\rangle |s_2 = \frac{1}{2}, m_2 = -\frac{1}{2}\rangle + |s_1 = \frac{1}{2}, m_1 = -\frac{1}{2}\rangle |s_2 = \frac{1}{2}, m_2 = +\frac{1}{2}\rangle\right). \]
Gli stati del tripletto (\(s=1\)) sono simmetrici rispetto allo scambio delle particelle, mentre lo stato singoletto (\(s=0\)) è antisimmetrico. Questa proprietà è fondamentale nella descrizione dei sistemi di particelle identiche, come gli elettroni, e determina il comportamento statistico del sistema (bosoni o fermioni).
Nella costruzione della funzione d’onda per due elettroni (entrambi fermioni con spin \(s=1/2\)), si applica il principio di antisimmetria: la funzione d’onda totale deve cambiare segno allo scambio delle due particelle. Negli appunti vediamo che questa proprietà si riflette sia nello spazio degli spin (tramite le combinazioni singoletto/tripletto) sia nelle coordinate spaziali. In particolare:
La figura mostra proprio la distinzione tra stati simmetrici e antisimmetrici nella rappresentazione degli orbitali, illustrando come due elettroni (rappresentati dalle frecce opposte) possano occupare lo stesso orbitale solo nel caso del singoletto, mentre nel tripletto devono necessariamente occupare stati diversi a causa del principio di esclusione di Pauli.
Questo formalismo spiega perché, ad esempio, nell’elio solo una configurazione (il singoletto) è permessa quando entrambi gli elettroni sono nello stato fondamentale (\(1s\)), mentre per gli stati eccitati (dove uno degli elettroni può trovarsi in un orbitale diverso) diventano possibili anche i tripletto.
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