Spin ½: Spinori di Pauli

Gli spinori di Pauli sono una rappresentazione fondamentale del concetto di spin ½, utilizzata per descrivere particelle come gli elettroni e altre particelle con spin frazionario. Questa rappresentazione è essenziale per il formalismo della meccanica quantistica e si basa sull'uso di matrici e vettori nello spazio di Hilbert.

Rappresentazione Matematica

Un sistema con spin ½ è descritto da uno stato quantistico rappresentato da un vettore colonna (spinore) nel seguente modo:

\[ |\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \quad \text{con} \quad |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \]

Qui, \(\alpha\) e \(\beta\) sono coefficienti complessi che determinano la probabilità di trovare la particella con spin "su" (\(+\)) o "giù" (\(-\)) lungo un asse specifico.

Operatori di Spin e Matrici di Pauli

Le componenti dello spin sono rappresentate da operatori associati alle matrici di Pauli:

\[ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Queste matrici soddisfano la relazione di commutazione tipica degli operatori di spin:

\[ [\sigma_i, \sigma_j] = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_k \]

dove \(\epsilon_{ijk}\) è il simbolo di Levi-Civita.

Proprietà

Gli autovalori delle matrici di Pauli sono \(\pm 1\), corrispondenti agli stati \(|+\rangle\) e \(|-\rangle\) lungo un asse specifico.
La norma dello spinore è sempre unitaria: \(|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\).
Le matrici di Pauli formano una base nello spazio degli operatori hermitiani \(2 \times 2\).

Applicazioni

I spinori di Pauli sono utilizzati per descrivere una varietà di fenomeni, come l'interazione tra il momento magnetico di una particella e un campo magnetico esterno (Effetto Zeeman) e l'evoluzione di stati di spin nel tempo secondo l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo.

Rotazione degli Stati di Spin

Gli stati di spin possono essere ruotati utilizzando operatori di rotazione unitari, definiti come:

\[ U(\mathbf{n}, \theta) = \exp\left(-i \frac{\theta}{2} (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\sigma})\right) \]

dove \(\mathbf{n}\) è un vettore unitario che definisce l'asse di rotazione, \(\theta\) è l'angolo di rotazione, e \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)\) rappresenta il vettore delle matrici di Pauli.

Applicando \(U(\mathbf{n}, \theta)\) a uno stato \(|\psi\rangle\), si ottiene lo stato ruotato:

\[ |\psi'\rangle = U(\mathbf{n}, \theta) |\psi\rangle \]

Questa operazione conserva la norma dello stato e rispetta le regole della meccanica quantistica.

Momento Magnetico e Effetto Zeeman

Il momento magnetico associato allo spin è proporzionale all'operatore di spin:

\[ \mathbf{\mu} = -g \frac{e}{2m} \mathbf{S} \]

dove \(g\) è il fattore di Landé, \(e\) è la carica dell'elettrone, \(m\) la sua massa, e \(\mathbf{S}\) è l'operatore di spin.

In presenza di un campo magnetico uniforme \(\mathbf{B}\), l'energia potenziale dell'interazione è data da:

\[ H_Z = -\mathbf{\mu} \cdot \mathbf{B} = g \frac{e}{2m} (\mathbf{S} \cdot \mathbf{B}) \]

Questo termine, chiamato energia di Zeeman, causa una separazione dei livelli energetici proporzionale alla componente dello spin lungo \(\mathbf{B}\):

\[ \Delta E = g \mu_B B \]

dove \(\mu_B = \frac{e\hbar}{2m}\) è il magnetone di Bohr.

Misurazione dello Spin

Un aspetto fondamentale dello spin è che il suo valore misurabile lungo un asse specifico è sempre quantizzato. Se si misura lo spin lungo l'asse \(z\), gli unici risultati possibili sono \(\pm \hbar/2\), corrispondenti agli autovalori di \(\sigma_z\):

\[ \sigma_z |\pm\rangle = \pm |\pm\rangle \]

L'evoluzione temporale degli stati di spin in presenza di un campo magnetico segue l'equazione di Schrödinger:

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = H_Z |\psi(t)\rangle \]

La soluzione di questa equazione descrive la precessione dello spin attorno al campo magnetico, un fenomeno osservabile in esperimenti come l'effetto Stern-Gerlach.

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