Stati Stazionari

In meccanica quantistica, uno stato stazionario è uno stato con energia definita, i cui moduli quadro delle funzioni d’onda non variano nel tempo. Se il potenziale non dipende dal tempo, l’equazione di Schrödinger si separa in una parte spaziale e una temporale, portando a soluzioni del tipo:

\[ \psi(\mathbf{r}, t) = \phi(\mathbf{r})e^{-iE t/\hbar}, \] dove \(\phi(\mathbf{r})\) è un’autofunzione dell’operatore Hamiltoniano, con autovalore \(E\) (l’energia). Queste soluzioni sono dette stati stazionari poiché la probabilità \(|\psi(\mathbf{r}, t)|^2 = |\phi(\mathbf{r})|^2\) non dipende dal tempo.

Equazione di Schrödinger Indipendente dal Tempo

Nel caso di potenziale statico \(V(\mathbf{r})\), cercando soluzioni di forma \(\psi(\mathbf{r}, t) = \phi(\mathbf{r})e^{-iE t/\hbar}\), si arriva all’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) = E \phi(\mathbf{r}). \] Questa è un’equazione agli autovalori per \(\phi(\mathbf{r})\). Gli autovalori \(E\) determinano i livelli energetici del sistema, e le autofunzioni \(\phi(\mathbf{r})\) i modi stazionari associati a ciascun livello.

Interpretazione degli Stati Stazionari

Gli stati stazionari non cambiano forma nel tempo, a parte per un fattore di fase complesso \(e^{-iE t/\hbar}\). Poiché la densità di probabilità \(|\psi(\mathbf{r},t)|^2\) è costante nel tempo, questi stati descrivono situazioni in cui il sistema ha una distribuzione di probabilità per la posizione immutabile. Tuttavia, non sempre questi stati corrispondono a situazioni realistiche. Un sistema reale può trovarsi in una sovrapposizione di stati stazionari, e in tal caso la forma della funzione d’onda può variare nel tempo, sebbene ciascun componente individuale sia stazionario.

Combinazioni Lineari di Stati Stazionari

La generalità dell’equazione di Schrödinger lineare permette di formare combinazioni lineari di stati stazionari per ottenere nuove soluzioni. Se \(\phi_n(\mathbf{r})\) sono autofunzioni con energia \(E_n\), uno stato arbitrario può essere scritto come:

\[ \psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n \phi_n(\mathbf{r}) e^{-iE_n t/\hbar}. \] In generale, questa superposizione non sarà stazionaria, poiché le diverse componenti oscillano con frequenze diverse. Il risultato è una funzione d’onda con densità di probabilità dipendente dal tempo, che può esibire fenomeni di interferenza e oscillazioni.

Alla Lavagna

1. Parti dall’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo: \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\psi(\mathbf{r},t). \]

2. Prova una separazione di variabili \(\psi(\mathbf{r},t)=\phi(\mathbf{r})f(t)\). Otterrai due equazioni, una dipendente da \(\mathbf{r}\) e l’altra da \(t\).

3. La parte temporale porta a \(f(t)=e^{-iE t/\hbar}\).

4. La parte spaziale è l’equazione agli autovalori: \[ \hat{H}\phi(\mathbf{r}) = E\phi(\mathbf{r}). \] 5. Disegna un potenziale semplice, come una buca di potenziale, e mostra graficamente uno degli autostati con energia definita, la sua funzione d’onda non cambia forma nel tempo se non per un fattore di fase globale.

Esempi di Stati Stazionari

Nei sistemi semplici con soluzioni note, ogni autofunzione dell’Hamiltoniano rappresenta uno stato stazionario. Ad esempio:

Se consideriamo uno stato stazionario come base per descrivere la dinamica, la comprensione delle autofunzioni e dei corrispondenti livelli energetici diventa il primo passo per analizzare qualsiasi evoluzione temporale complessa.

Ulteriore Chiarimento sul Ruolo dei Fattori di Fase e della Sovrapposizione

Alla lavagna, dopo aver mostrato come si ottengono gli stati stazionari e aver spiegato che la densità di probabilità non cambia nel tempo per questi stati, si può sottolineare il significato del fattore di fase \( e^{-iE t/\hbar} \). Questo fattore, pur non influenzando la probabilità \(|\psi(\mathbf{r},t)|^2\), è cruciale nella combinazione di più stati stazionari. Ecco come spiegare i passaggi matematici o concettuali per chiarire la situazione:

  1. Visualizzazione di un singolo stato stazionario:
    Disegna un potenziale semplice, come una buca infinita tra \(0\) e \(L\). Mostra una funzione d’onda stazionaria, ad esempio il primo autostato \(\phi_1(x)\) che è una sinusoide all’interno della buca e zero fuori. Spiega che \(\psi(x,t)=\phi_1(x)e^{-iE_1 t/\hbar}\) ha \(|\psi(x,t)|^2=|\phi_1(x)|^2\) costante nel tempo. Se si effettuasse una misura di posizione, la distribuzione dei risultati rimarrebbe la stessa a qualunque istante \(t\).
  2. Sovrapposizione di due stati stazionari:
    Ora, considera due autofunzioni \(\phi_1(x)\) e \(\phi_2(x)\) con energie \(E_1\) ed \(E_2\). Scrivi: \[ \psi(x,t) = c_1 \phi_1(x)e^{-iE_1 t/\hbar} + c_2 \phi_2(x)e^{-iE_2 t/\hbar}. \] Sulla lavagna, evidenzia la presenza dei due fattori di fase con frequenze diverse \(E_1/\hbar\) ed \(E_2/\hbar\). Mostra che la densità di probabilità è: \[ |\psi(x,t)|^2 = |c_1|^2|\phi_1(x)|^2 + |c_2|^2|\phi_2(x)|^2 + 2\text{Re}\{ c_1^* c_2 \phi_1^*(x)\phi_2(x) e^{-i(E_1 - E_2)t/\hbar}\}. \] Osserva come il termine d’interferenza \(\phi_1^*(x)\phi_2(x)e^{-i(E_1 - E_2)t/\hbar}\) introduca una dipendenza temporale in \(|\psi(x,t)|^2\). Così, anche se singolarmente gli stati stazionari non cambiano nel tempo (nel senso della distribuzione di probabilità), la loro combinazione può mostrare oscillazioni e variazioni temporali della probabilità, a causa delle diverse fasi acquisite dai fattori \(e^{-iE_nt/\hbar}\).
  3. Interpretazione fisica:
    Spiega che questa è la ragione per cui gli stati stazionari sono “fondamentali” come base, ma uno stato generale del sistema (che può non essere stazionario) si costruisce come sovrapposizione di stati stazionari diversi. Da questa sovrapposizione nasce la ricchezza della dinamica quantistica, con fenomeni come oscillazioni di probabilità tra due configurazioni, battimenti quantistici e interferenza. Sulla lavagna, puoi tracciare due funzioni d’onda \(\phi_1\) e \(\phi_2\) e mostrare come la loro combinazione porti a una funzione d’onda che varia nel tempo anche nella densità di probabilità, evidenziando i termini di interferenza temporali.
  4. Conclusione sul metodo:
    Infine, sottolinea che la capacità di risolvere l’equazione indipendente dal tempo per trovare \(\phi_n(\mathbf{r})\) e \(E_n\) è il primo passo. In seguito, conoscendo questi autostati, si possono costruire soluzioni più generali combinandoli con opportuni coefficienti \(c_n\). Ciò permette di descrivere qualsiasi evoluzione temporale del sistema, sia stazionaria che non. Ogni soluzione particolare di interesse fisico può essere compresa in termini di questa base di stati stazionari, rendendo il formalismo degli autostati uno strumento potente e flessibile per la meccanica quantistica.
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