Sviluppo in Serie di Autofunzioni

Concetto di base

In meccanica quantistica, una qualsiasi funzione d'onda \( \psi(x) \) che descrive uno stato quantistico può essere espressa come combinazione lineare delle autofunzioni \( \psi_n(x) \) dell'operatore hamiltoniano:
\[ \psi(x, t) = \sum_n c_n \psi_n(x) e^{-i E_n t / \hbar} \]
dove \( c_n \) sono i coefficienti di sviluppo e rappresentano l'ampiezza della probabilità che il sistema si trovi nello stato \( n \).

Proprietà delle autofunzioni

Le autofunzioni \( \psi_n(x) \) hanno le seguenti proprietà fondamentali:

Calcolo dei coefficienti

I coefficienti \( c_n \) dello sviluppo in serie si calcolano come:
\[ c_n = \int \psi_n^*(x) \psi(x) dx \]
Questo implica che i coefficienti \( c_n \) rappresentano la proiezione della funzione d'onda iniziale \( \psi(x) \) sulla \( n \)-esima autofunzione.

Evoluzione temporale

Una funzione d'onda \( \psi(x, t) \) evolve nel tempo secondo l'equazione di Schrödinger. Se si conosce lo sviluppo iniziale \( \psi(x, 0) \), l'evoluzione temporale è data da:
\[ \psi(x, t) = \sum_n c_n \psi_n(x) e^{-i E_n t / \hbar} \]
dove \( E_n \) è l'autovalore energetico associato allo stato \( n \).

Esempio: Buca di potenziale infinita

Consideriamo una particella confinata in una buca di potenziale infinita di larghezza \( L \). Le autofunzioni sono:
\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \quad n = 1, 2, 3, \ldots \]
Se la funzione d'onda iniziale è una combinazione di autofunzioni, ad esempio:
\[ \psi(x, 0) = a \psi_1(x) + b \psi_2(x) \]
la sua evoluzione temporale è:
\[ \psi(x, t) = a \psi_1(x) e^{-i E_1 t / \hbar} + b \psi_2(x) e^{-i E_2 t / \hbar} \]

Significato fisico

Lo sviluppo in serie di autofunzioni consente di descrivere stati quantistici generici come combinazioni di stati base. Questa rappresentazione è essenziale per calcolare osservabili, probabilità di transizione e altri fenomeni quantistici. Ritorna all'Indice