Teorema di Ehrenfest
Concetto e formulazione
Il teorema di Ehrenfest stabilisce un legame tra la meccanica quantistica e la meccanica classica, mostrando che le equazioni del moto classiche emergono come media degli operatori quantistici. Esso afferma che:
\[
\frac{d}{dt} \langle \hat{A} \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{A}] \rangle + \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \right\rangle
\]
dove \( \hat{A} \) è un operatore generico, \( \hat{H} \) è l'Hamiltoniana e \( [\hat{H}, \hat{A}] \) è il commutatore.
Applicazione alla posizione e al momento
Consideriamo gli operatori posizione \( \hat{x} \) e momento \( \hat{p} \). Le equazioni del teorema di Ehrenfest diventano:
\[
\frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle = \frac{\langle \hat{p} \rangle}{m}
\]
e
\[
\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle
\]
dove \( V(x) \) è il potenziale. Queste relazioni mostrano che il moto medio segue le leggi della meccanica classica.
Significato fisico
Il teorema di Ehrenfest evidenzia come le medie quantistiche degli operatori posizione e momento rispettino le leggi di Newton nel limite classico. Tuttavia, nei sistemi dominati da effetti quantistici (ad esempio, nel caso di barriere di potenziale o stati legati), le medie possono discostarsi significativamente dalle predizioni classiche.
Proprietà del commutatore
Il commutatore \([ \hat{H}, \hat{A} ]\) determina come l'osservabile associata all'operatore \( \hat{A} \) evolve nel tempo. Per esempio:
\[
[ \hat{H}, \hat{p} ] = -i \hbar \frac{\partial V}{\partial x}
\]
mostra come il momento sia influenzato dal gradiente del potenziale.
Conclusioni dal limite classico
Nel limite in cui le dimensioni caratteristiche del sistema sono molto grandi rispetto alla lunghezza d'onda di de Broglie, le medie degli operatori posizione e momento convergono ai valori classici, rendendo il teorema di Ehrenfest uno strumento fondamentale per comprendere la corrispondenza tra meccanica classica e quantistica.
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