Teorema di Ehrenfest

Il teorema di Ehrenfest mostra come la meccanica quantistica recuperi, in media, il comportamento classico: le aspettative di posizione e impulso di una particella quantistica obbediscono a equazioni che richiamano le leggi di Newton. In altre parole, anche se la meccanica quantistica è probabilistica e non offre traiettorie certe, la dinamica dei valori medi degli osservabili fondamentali (posizione e impulso) evolve in modo simile alle leggi classiche.

Formalmente, consideriamo un sistema descritto da una funzione d’onda \(\psi(\mathbf{r},t)\) o dallo stato \(|\psi(t)\rangle\). Per un osservabile rappresentato dall’operatore hermitiano \(\hat{A}\), il valore di aspettazione è:

\[ \langle A \rangle = \langle \psi(t)|\hat{A}|\psi(t)\rangle. \]

Il teorema di Ehrenfest afferma che:

\[ \frac{d}{dt}\langle A \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H}, \hat{A}] \rangle + \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle. \]

Se \(\hat{A}\) non dipende esplicitamente dal tempo, il secondo termine scompare e rimane:

\[ \frac{d}{dt}\langle A \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H}, \hat{A}] \rangle. \]

Applicazione a Posizione e Impulso

Per una particella di massa \(m\) in un potenziale \(V(\mathbf{r})\), l’Hamiltoniano è:

\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}). \]

Applicando il teorema di Ehrenfest a \(\hat{A} = \hat{x}\), si ottiene:

\[ \frac{d}{dt}\langle x \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H},\hat{x}] \rangle. \]

Siccome \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\) e \([\hat{x}, \hat{x}] = 0\), il calcolo porta a:

\[ \frac{d}{dt}\langle x \rangle = \frac{\langle \hat{p} \rangle}{m}. \]

Analogamente, per \(\hat{A} = \hat{p}\):

\[ \frac{d}{dt}\langle p \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H}, \hat{p}] \rangle. \]

Qui, \(\hat{p}\) commuta con \(\hat{p}^2\), ma non con \(V(\hat{x})\). L’espansione mostra che:

\[ \frac{d}{dt}\langle p \rangle = -\langle V'(\hat{x}) \rangle, \] dove \(V'(\hat{x}) = \frac{dV}{dx}(\hat{x})\). Ciò significa:

\[ m \frac{d^2}{dt^2}\langle x \rangle = -\langle V'(x) \rangle, \] che è la forma quantistica delle leggi di Newton, con la forza \(-\langle V'(x)\rangle\) che agisce sulla posizione media.

Alla Lavagna

1. Scrivi la formula generale di Ehrenfest: \[ \frac{d}{dt}\langle A \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H}, \hat{A}] \rangle + \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle. \] 2. Mostra che per \(\hat{A}=\hat{x}\): \[ \frac{d}{dt}\langle x \rangle = \frac{\langle p \rangle}{m}. \] Questo ricorda \( \dot{x} = p/m \). 3. Per \(\hat{A}=\hat{p}\): \[ \frac{d}{dt}\langle p \rangle = -\langle V'(x) \rangle. \] Questo è analogo a \( \dot{p} = F \), dove \(F = -V'(x)\). 4. Disegna uno schema: a sinistra la funzione d’onda \(\psi(x,t)\), a destra un potenziale \(V(x)\) qualsiasi. Spiega che pur non avendo traiettorie determinate, il valore medio della posizione segue un’equazione simile a quella classica, con la forza data dalla media del gradiente del potenziale. 5. Sottolinea che il teorema di Ehrenfest fornisce un ponte concettuale tra la dinamica quantistica e la dinamica classica, almeno sul piano statistico dei valori medi.

Significato e Implicazioni

Il teorema di Ehrenfest mostra come la descrizione quantistica, pur essendo ontologicamente diversa da quella classica (funzioni d’onda invece di traiettorie), sia in grado di riprodurre i risultati classici in media. Se lo stato quantistico è localizzato e varia lentamente, i valori medi si evolvono quasi come particelle classiche soggette a forze derivanti da un potenziale. In condizioni più generali, invece, la funzione d’onda può espandersi, interferire o assumere forme non classiche, generando discordanze tra la dinamica classica e quantistica.

In definitiva, Ehrenfest ci conferma che la meccanica quantistica non contraddice la meccanica classica, ma la generalizza, recuperandone il comportamento classico come caso limite di grandi numeri quantici, stati quasi-classici o valori medi degli osservabili fondamentali.

Approfondimento sui Passaggi Matematici alla Lavagna

Per chiarire ulteriormente i passaggi, alla lavagna si può mostrare come si arriva alle espressioni per \(\frac{d}{dt}\langle x \rangle\) e \(\frac{d}{dt}\langle p \rangle\) partendo dal teorema di Ehrenfest. Supponiamo di lavorare in una dimensione per semplificare la notazione, ma il ragionamento si estende facilmente alle tre dimensioni.

  1. Relazione di commutazione e calcolo del commutatore: Scrivi: \[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}). \] Ora, consideriamo \(\hat{A}=\hat{x}\). Il commutatore \([\hat{H}, \hat{x}]\) va calcolato. Essendo \(\hat{H}\) composto di \(\frac{\hat{p}^2}{2m}\) e \(V(\hat{x})\), notiamo che \(\hat{x}\) commuta con tutte le funzioni di \(\hat{x}\) (quindi con \(V(\hat{x})\)), e l’unica parte non triviale viene da \(\hat{p}^2\): \[ [\hat{H}, \hat{x}] = \left[\frac{\hat{p}^2}{2m}, \hat{x}\right] + [V(\hat{x}), \hat{x}] = \frac{1}{2m}[\hat{p}^2,\hat{x}] \text{ (poiché } [V(\hat{x}),\hat{x}]=0). \] Siccome \([\hat{p},\hat{x}] = -i\hbar\) (o equivalentemente \([\hat{x},\hat{p}] = i\hbar\)), otteniamo: \[ [\hat{p}^2, \hat{x}] = \hat{p}[\hat{p}, \hat{x}] + [\hat{p}, \hat{x}]\hat{p}. \] Sapendo che \([\hat{p},\hat{x}]=-i\hbar\), si può dimostrare che: \[ [\hat{p}^2,\hat{x}] = -2i\hbar \hat{p}. \] Di conseguenza: \[ [\hat{H}, \hat{x}] = \frac{1}{2m}(-2i\hbar\hat{p}) = -\frac{i\hbar}{m}\hat{p}. \] Inserendo questo nel teorema di Ehrenfest: \[ \frac{d}{dt}\langle x \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H},\hat{x}] \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle -\frac{i\hbar}{m}\hat{p}\rangle = \frac{\langle p \rangle}{m}. \] Sottolinea con il gesso come ogni passaggio segue dagli operatori e dalle loro relazioni di commutazione.
  2. Derivazione per \(\hat{p}\): Ora, considera \(\hat{A}=\hat{p}\). Calcola \([\hat{H},\hat{p}]\). Poiché \(\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{x})\) e \(\hat{p}\) commuta con \(\hat{p}^2\), l’unico contributo non banale viene da \([V(\hat{x}),\hat{p}]\). Si dimostra (facendo l’espansione in potenza di \(\hat{x}\) o usando l’identità \(\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}\) in rappresentazione di posizione) che: \[ [V(\hat{x}), \hat{p}] = -i\hbar V'(\hat{x}). \] Quindi: \[ [\hat{H}, \hat{p}] = [V(\hat{x}), \hat{p}] = -i\hbar V'(\hat{x}). \] Inserendo nel teorema di Ehrenfest: \[ \frac{d}{dt}\langle p \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H}, \hat{p}] \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle -i\hbar V'(\hat{x})\rangle = -\langle V'(\hat{x})\rangle. \] Mostra alla lavagna la catena di uguaglianze e come la derivata del potenziale giochi il ruolo di forza media: \[ m \frac{d^2}{dt^2}\langle x \rangle = -\langle V'(x)\rangle. \] Questo ricorda esattamente la seconda legge di Newton, ma con valori medi degli osservabili invece che con traiettorie definite.

In questo modo, i passaggi matematici sul commutatore e sulla relazione tra \(\hat{x}\), \(\hat{p}\), e \(\hat{H}\) rendono evidente come le equazioni classiche del moto emergano “in media” dalla teoria quantistica. Tale dimostrazione alla lavagna, passo dopo passo, cementa il concetto che, sebbene la meccanica quantistica non tracci traiettorie certe, i valori medi degli osservabili seguono leggi analoghe a quelle classiche, come predice il teorema di Ehrenfest.

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