Transizioni al Continuo

Le transizioni al continuo si verificano quando un sistema quantistico, inizialmente in uno stato discreto, si evolve in uno stato descritto da un insieme continuo di autovalori. Tali transizioni sono essenziali per comprendere fenomeni come l'emissione e l'assorbimento di radiazione, nonché processi in cui le particelle sono ionizzate o espulse da un sistema.

Formalismo Matematico

Consideriamo un sistema quantistico descritto da un'hamiltoniana totale:

\[ H = H_0 + V \]

dove \( H_0 \) rappresenta l'hamiltoniana del sistema non perturbato e \( V \) è un termine perturbativo. Gli stati iniziali sono discreti con energia \( E_i \), mentre gli stati finali appartengono a un continuo energetico \( E_f \).

La probabilità di transizione è descritta dalla Regola d'Oro di Fermi:

\[ W_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left| \langle f | V | i \rangle \right|^2 \rho(E_f) \]

dove \( \rho(E_f) \) è la densità degli stati finali per unità di energia, e \( \langle f | V | i \rangle \) è l'elemento di matrice della perturbazione.

Effetti della Densità degli Stati

La densità degli stati \( \rho(E_f) \) gioca un ruolo cruciale nel determinare la probabilità di transizione. Ad esempio, in un continuo isotropo tridimensionale:

\[ \rho(E) \propto \sqrt{E} \]

Questa dipendenza implica che le transizioni verso stati energetici più alti sono favorite se il sistema dispone di sufficiente energia.

Esempi Applicativi

Ionizzazione Atomica: Un elettrone passa da uno stato legato a uno stato libero quando assorbe energia superiore al potenziale di ionizzazione.
Emissione Stimolata: Un fotone stimola una transizione da uno stato discreto a uno stato continuo, producendo un altro fotone con caratteristiche identiche.
Assorbimento Inverso: Il sistema assorbe energia, portando uno stato iniziale continuo a uno discreto.

Approccio Energetico

Quando si considerano le transizioni al continuo, è fondamentale analizzare le condizioni energetiche del sistema. Il bilancio energetico soddisfa la conservazione dell'energia:

\[ E_i + \hbar \omega = E_f \]

Qui \( \hbar \omega \) rappresenta l'energia di un fotone incidente, mentre \( E_f \) è l'energia dello stato finale continuo.

Derivazione della Probabilità di Transizione

Per derivare la probabilità di transizione \( W_{i \to f} \), consideriamo lo sviluppo perturbativo dell'ampiezza di transizione nel primo ordine di perturbazione temporale. L'ampiezza è data da:

\[ c_f(t) = -\frac{i}{\hbar} \int_{-\infty}^{t} e^{i (E_f - E_i) t' / \hbar} \langle f | V | i \rangle \, dt' \]

Il termine \( e^{i (E_f - E_i) t' / \hbar} \) descrive la differenza di fase tra gli stati iniziale e finale. L'integrazione temporale genera un termine proporzionale a una funzione delta generalizzata:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega t} \, dt = 2\pi \delta(\omega) \]

Con questa proprietà, otteniamo che la probabilità di transizione è proporzionale a:

\[ W_{i \to f} \propto \left| \langle f | V | i \rangle \right|^2 \delta(E_f - E_i - \hbar \omega) \]

Ruolo della Regola d’Oro di Fermi

La Regola d’Oro di Fermi estende questa probabilità includendo la densità degli stati \( \rho(E_f) \), che consente di calcolare la probabilità totale per un insieme continuo di stati finali:

\[ W_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left| \langle f | V | i \rangle \right|^2 \rho(E_f) \]

In questa espressione:

\( \langle f | V | i \rangle \): Determina la "forza" della transizione tramite l'elemento di matrice della perturbazione.
\( \rho(E_f) \): Riflette il numero di stati finali accessibili per unità di energia.

La presenza della densità degli stati implica che i processi di transizione sono favoriti se esistono molti stati finali disponibili con energia compatibile.

Condizioni di Risonanza

Le transizioni al continuo sono particolarmente significative quando il sistema si trova in condizioni di risonanza. Questo accade quando l'energia del fotone incidente corrisponde esattamente alla differenza di energia tra lo stato iniziale e uno stato dello spettro continuo:

\[ E_f = E_i + \hbar \omega \]

In condizioni di risonanza, la probabilità di transizione raggiunge il massimo, favorendo processi come l’assorbimento o l’emissione stimolata.

Conservazione dell'Energia e Momento

Oltre alla conservazione dell'energia, nei processi di transizione al continuo è necessario considerare la conservazione del momento. Nel caso di emissione di particelle, il momento delle particelle finali soddisfa:

\[ \vec{p}_i + \vec{q} = \vec{p}_f \]

Qui, \( \vec{q} \) è il momento trasferito dalla perturbazione esterna (es. fotone o fonone), mentre \( \vec{p}_i \) e \( \vec{p}_f \) sono i momenti iniziale e finale del sistema.

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