Transizioni a uno Stato del Continuo e Regola d’Oro di Fermi

Quando il sistema quantistico è soggetto a una perturbazione dipendente dal tempo, può verificarsi una transizione tra stati legati (discreti) e stati appartenenti a un continuum di energie. Un tipico esempio è l’emissione o assorbimento di un fotone da parte di un atomo, che può portare l’elettrone da uno stato quantizzato a uno stato del continuo, ovvero una configurazione dove l’elettrone è libero con energia variabile su un intervallo continuo.

L’analisi di tali processi, in condizioni perturbative, conduce alla famosa Regola d’Oro di Fermi, che fornisce una formula semplice per il tasso di transizione da uno stato iniziale \(|i\rangle\) a uno finale \(|f\rangle\) appartenente a un insieme continuo di stati.

Setup del Problema

Consideriamo un Hamiltoniano del tipo:

\[ \hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t), \] dove \(\hat{H}_0\) è l’Hamiltoniano non perturbato, con autostati \(|i\rangle\) di energia \(E_i\), e \(\hat{V}(t)\) è una piccola perturbazione dipendente dal tempo. Se si vuole studiare la transizione da uno stato iniziale \(|i\rangle\) a un insieme continuo di stati finali \(|f\rangle\), la probabilità di transizione per unità di tempo può essere derivata utilizzando l’approssimazione perturbativa del primo ordine.

Regola d’Oro di Fermi

La Regola d’Oro di Fermi afferma che il tasso di transizione \(w_{i \to f}\) dal livello iniziale \(|i\rangle\) verso stati finali in un intervallo di energia continuo è:

\[ w_{i\to f} = \frac{2\pi}{\hbar} | \langle f|\hat{V}|i\rangle |^2 \rho(E_f), \] dove \(\rho(E_f)\) è la densità di stati finali per unità di energia attorno all’energia \(E_f\). La formula mostra che la probabilità di transizione è proporzionale al quadrato dell’elemento di matrice dell’interazione perturbativa tra lo stato iniziale e quello finale, e alla densità dei possibili stati finali disponibili a quella energia.

Interpretazione

La Regola d’Oro di Fermi è essenzialmente un risultato di teoria delle perturbazioni del secondo ordine, valido quando la perturbazione è debole e quando ci sono molti stati finali disponibili (continuo). È particolarmente utile per descrivere processi di decadimento o transizioni indotte da interazioni con campi esterni, come radiazioni elettromagnetiche o collisioni con altre particelle. L’ampiezza dell’interazione \(\langle f|\hat{V}|i\rangle\) determina l’efficienza del processo, mentre \(\rho(E_f)\) quantifica “quante” possibilità di stati finali ci sono alla giusta energia, favorendo la transizione.

Alla Lavagna

1. Parti dall’equazione di Schrödinger perturbata: \[ i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = (\hat{H}_0 + \hat{V}(t))|\psi(t)\rangle. \]

2. Considera uno stato iniziale \(|\psi(0)\rangle = |i\rangle\) autostato di \(\hat{H}_0\) con energia \(E_i\).

3. Al primo ordine in \(\hat{V}(t)\), l’ampiezza di probabilità di trovare il sistema in uno stato finale \(|f\rangle\) con energia \(E_f\) è proporzionale all’integrale nel tempo di: \[ \langle f|\hat{V}(t)|i\rangle e^{i(E_f - E_i)t/\hbar}. \] 4. In condizioni appropriate (ad esempio, perturbazione periodica o quasi-monocromatica, e passando al limite del continuo), si ottiene che il tasso di transizione è: \[ w_{i\to f} = \frac{2\pi}{\hbar}| \langle f|\hat{V}|i\rangle |^2 \rho(E_f). \] 5. Mostra graficamente il significato di \(\rho(E_f)\): uno spettro continuo di stati finali tra i quali il sistema può scegliere.

Impiego della Regola d’Oro di Fermi

La Regola d’Oro di Fermi si usa per calcolare tassi di emissione spontanea, assorbimento e emissione stimolata, decadimenti radioattivi, transizioni indotte da campi esterni, e più in generale processi in cui uno stato discreto si accoppia a un continuum. Essa fornisce un risultato semplice e compatto per il tasso di transizione in funzione dell’intensità dell’interazione e della densità di stati finali.

In particolare, nelle reazioni atomiche, molecolari o nucleari, se la perturbazione è piccola e costante nel tempo (o si raggiunge un regime stazionario), la Regola d’Oro diventa uno strumento fondamentale per capire il flusso di probabilità verso i canali di uscita continui.

Passi Matematici per la Derivazione della Regola d'Oro di Fermi

Nell’approccio perturbativo, partendo da uno stato iniziale \(|i\rangle\) ad energia \(E_i\), si considera una piccola perturbazione tempo-dipendente \(V(t)\), applicata a partire da \(t=0\). L’obiettivo è valutare l’ampiezza di probabilità di transizione ad uno stato finale \(|f\rangle\), appartenente ad un insieme continuo con energia \(E_f\). La funzione d’onda può essere espansa in autostati non perturbati:

\[ |\psi(t)\rangle = |i\rangle + \sum_f c_f(t)|f\rangle, \] dove i coefficienti \(c_f(t)\) sono piccoli per una perturbazione debole. All’ordine più basso in \(V(t)\), si ottiene un’equazione differenziale per \(c_f(t)\): \[ i\hbar \frac{d}{dt} c_f(t) = \langle f|V(t)|i\rangle e^{\frac{i}{\hbar}(E_f - E_i)t}. \]

Integrando tra \(0\) e \(t\):

\[ c_f(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t \langle f|V(t')|i\rangle e^{\frac{i}{\hbar}(E_f - E_i)t'} dt'. \]

Se la perturbazione ha una durata lunga, o se consideriamo tempi tali da poter approssimare la funzione \(e^{\frac{i}{\hbar}(E_f - E_i)t'}\) come un fattore oscillante, si può applicare un’analisi con la trasformata di Fourier. Nel limite di tempi lunghi, l’integrale produce un picco quando \(E_f \approx E_i\), a causa dell’oscillatore armonico integrato su un ampio intervallo di tempo. Ciò permette di approssimare la delta di Dirac per la conservazione dell’energia:

\[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2\pi\hbar}\int_0^T e^{\frac{i}{\hbar}(E_f - E_i)t'} dt' = \delta(E_f - E_i). \]

A questo punto, assumendo un potenziale perturbante quasi stazionario o periodico, l’elemento di matrice \(\langle f|V|i\rangle\) si può considerare quasi costante nel tempo per tempi sufficientemente grandi. Questo porta la probabilità di transizione nell’unità di tempo verso gli stati finali con energia attorno a \(E_f\) a essere proporzionale a:

\[ | \langle f|V|i\rangle |^2 \delta(E_f - E_i). \]

Poiché gli stati finali sono continui, bisogna introdurre la densità di stati \(\rho(E_f)\), che misura quanti stati esistono per unità di intervallo energetico attorno a \(E_f\).

Combinando questi risultati, si ottiene la formula:

\[ w_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar}| \langle f|V|i\rangle |^2 \rho(E_f). \]

Tale espressione è la Regola d'Oro di Fermi. Essa dice che la velocità di transizione è proporzionale al quadrato dell’ampiezza di accoppiamento tra i due stati e alla densità di stati finali disponibili alla corretta energia. In sostanza, la frequenza delle transizioni è alta se il sistema può attingere a molti stati finali a energia compatibile, e se la perturbazione permette un accoppiamento forte tra stato iniziale e finale.

In una situazione tipica, ad esempio un atomo inizialmente in uno stato legato che interagisce con un campo elettromagnetico, la perturbazione \(V(t)\) potrebbe corrispondere all’interazione dipolare con un’onda elettromagnetica. Se l’energia del fotone corrisponde alla differenza \(E_f - E_i\), la transizione risulta fortemente amplificata, e la Regola d’Oro di Fermi fornisce un modo semplice per stimare il tasso di emissione o assorbimento del fotone.

Dettagli Matematici e Deduzione dei Risultati

Consideriamo il sistema inizialmente nello stato \( |i\rangle \) con energia \(E_i\). Introducendo una perturbazione dipendente dal tempo, si vuole capire come evolve il coefficiente \(c_i(t)\) nello sviluppo in autofunzioni dell’Hamiltoniano non perturbato. Se lo spettro finale include stati continui \( |f\rangle \) con energie nella regione \([E_i-\Delta, E_i+\Delta]\) e se la perturbazione consente transizioni da \( |i\rangle \) a tali stati, l’ampiezza per rimanere in \( |i\rangle \) diminuisce nel tempo.

Il calcolo perturbativo, al primo ordine, mostra che se il tasso di transizione in uscita da \( |i\rangle \) verso un insieme di stati finali è \(\Gamma\), allora, per tempi abbastanza lunghi da rendere trascurabili gli andamenti di breve periodo ma non così lunghi da richiedere termini di ordine più alto della perturbazione, la probabilità di rimanere in \( |i\rangle \) assume forma esponenziale: P_i→i(t) = exp(-Γ t). Questo comportamento è tipico dei processi di decadimento.

Sulla lavagna, uno schema per il derivare questo risultato in modo semplificato:

Scrivere la soluzione generale come \(\psi(t) = c_i(t)|i\rangle + \sum_f c_f(t)|f\rangle\).
L’equazione di Schrödinger, trattata perturbativamente, fornisce equazioni accoppiate per i coefficienti \(c_i(t)\) e \(c_f(t)\).
Se le densità di stati finali sono elevate, la sommatoria su \(f\) si trasforma in un integrale, e si ottiene un’equazione integro-differenziale per \(c_i(t)\).
Assumendo una perturbazione costante nel tempo o con una dipendenza temporale regolare, si estrae un termine proporzionale a \(c_i(t)\) che provoca un decadimento esponenziale: \(\frac{d}{dt}c_i(t) \approx -\frac{\Gamma}{2} c_i(t)\), quindi \(c_i(t) = c_i(0)e^{-\Gamma t/2}\). Di conseguenza \(P_{i→i}(t) = |c_i(t)|^2 = e^{-\Gamma t}\).

La costante \(\Gamma\) che appare è legata al tasso totale di decadimento dallo stato \( |i\rangle \) verso tutti gli altri stati accessibili. Considerando il limite di grandi tempi, l’andamento esponenziale è la soluzione più semplice che rispetti la struttura delle equazioni, essendo lineari e con coefficienti costanti nel tempo.

Usando il legame tra vita media \(\tau\) e \(\Gamma\), si ha \(\tau = 1/\Gamma\). Inoltre, dalla relazione tra incertezza energetica e vita media, \(\Delta E \approx \hbar/\tau\), si capisce che se il sistema decade rapidamente, la riga energetica è larga; se il decadimento è lento, la riga è stretta. Questo risultato è in linea con il principio di indeterminazione energia-tempo, fornendo un quadro coerente tra dinamica temporale e risoluzione energetica.

In applicazioni pratiche, come la fisica atomica, l’emissione spontanea o indotta, la fisica delle particelle e la fisica nucleare, queste formule permettono di collegare osservabili sperimentali (come larghezze di riga nelle transizioni spettrali, o tempi di decadimento delle particelle) alle proprietà fondamentali degli stati quantistici coinvolti.

Dunque, la probabilità di rimanere nello stato iniziale fornisce un ponte tra la meccanica quantistica e la fenomenologia sperimentale, rendendo tangibile l’effetto delle perturbazioni sullo stato del sistema, sulla sua stabilità nel tempo e sulla misura della larghezza di riga osservabile negli spettri.

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