Trasformazioni Unitarie
Definizione
Le trasformazioni unitarie sono operazioni matematiche che preservano la norma di un vettore nello spazio di Hilbert.
Una trasformazione unitaria è rappresentata da un operatore \( \hat{U} \) che soddisfa la seguente condizione:
\[
\hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{U} \hat{U}^\dagger = \hat{I}
\]
dove \( \hat{U}^\dagger \) è l'operatore hermitiano coniugato di \( \hat{U} \) e \( \hat{I} \) è l'operatore identità.
Proprietà delle trasformazioni unitarie
- Preservano il prodotto scalare: \( \langle\psi|\phi\rangle = \langle\psi'|\phi'\rangle \), dove \( |\psi'\rangle = \hat{U}|\psi\rangle \) e \( |\phi'\rangle = \hat{U}|\phi\rangle \).
- Preservano la norma dei vettori: \( \|\hat{U}|\psi\rangle\| = \||\psi\rangle\| \).
- Conservano la probabilità nei sistemi quantistici.
Evoluzione temporale e operatori unitari
In meccanica quantistica, l'evoluzione temporale di un sistema è descritta da un operatore unitario \( \hat{U}(t) \), che è legato all'hamiltoniano \( \hat{H} \) attraverso la relazione:
\[
\hat{U}(t) = e^{-\frac{i}{\hbar} \hat{H} t}
\]
Questo operatore descrive come uno stato \( |\psi(t)\rangle \) evolve nel tempo: