Trattazione Operatoriale

Operatori e stati quantistici

Nella meccanica quantistica, lo stato di un sistema è descritto da un vettore di stato \( |\psi\rangle \), mentre le osservabili fisiche sono rappresentate da operatori lineari autoaggiunti, come \( \hat{X} \) per la posizione e \( \hat{P} \) per la quantità di moto. Gli operatori agiscono sugli stati per generare informazioni misurabili.

Principio di indeterminazione

Gli operatori posizione \( \hat{X} \) e quantità di moto \( \hat{P} \) non commutano, soddisfacendo la relazione:
\[ [\hat{X}, \hat{P}] = i \hbar \]
Questa relazione è alla base del principio di indeterminazione di Heisenberg:
\[ \Delta X \Delta P \geq \frac{\hbar}{2} \]

Operatori di innalzamento e abbassamento

Negli oscillatori armonici quantistici, gli operatori di innalzamento \( \hat{a}^\dagger \) e abbassamento \( \hat{a} \) sono definiti come:
\[ \hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}} \left( m \omega \hat{X} + i \hat{P} \right), \quad \hat{a}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}} \left( m \omega \hat{X} - i \hat{P} \right) \]
Questi operatori soddisfano la relazione di commutazione:
\[ [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 \]

Autovalori e autostati

Gli stati dell'oscillatore armonico sono gli autostati dell'operatore numero \( \hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a} \), con autovalori \( n \):
\[ \hat{N} |n\rangle = n |n\rangle \]
Gli operatori \( \hat{a} \) e \( \hat{a}^\dagger \) abbassano o alzano rispettivamente il livello dello stato:
\[ \hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle, \quad \hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle \]

Rappresentazioni matriciali

Nella base degli autostati di \( \hat{N} \), gli operatori possono essere rappresentati da matrici. Ad esempio, \( \hat{a} \) ha elementi non nulli solo sulla sotto-diagonale:
\[ \langle n'|\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n} \delta_{n', n-1} \] Ritorna all'Indice