Valore di aspettazione

In meccanica quantistica, il valore di aspettazione di un osservabile rappresentato da un operatore hermitiano \( \hat{A} \) fornisce la media dei risultati di misura di quell’osservabile su un gran numero di sistemi preparati nello stesso stato. A differenza della meccanica classica, il cui stato determina i valori definiti di posizione, impulso ed energia, nella descrizione quantistica si ricava una previsione statistica, ossia la media dei possibili risultati.

Supponendo un sistema descritto da una funzione d’onda \(\psi(\mathbf{r},t)\) normalizzata, il valore di aspettazione di un osservabile \(\hat{A}\) è:

\[ \langle A \rangle = \int \psi^*(\mathbf{r},t)\,\hat{A}\,\psi(\mathbf{r},t)\, d^3r. \]

Se la descrizione è astratta, tramite notazione bra-ket, per uno stato \(|\psi(t)\rangle\):

\[ \langle A \rangle = \langle \psi(t)|\hat{A}|\psi(t)\rangle. \]

La necessità dell’ermiticità di \(\hat{A}\) garantisce che \(\langle A \rangle\) sia reale, condizione fondamentale perché il risultato di una misura fisica non sia un numero complesso.

Sulla lavagna, si può iniziare disegnando uno schema: a sinistra un potenziale \(V(\mathbf{r})\), al centro il profilo della funzione d’onda \(\psi(\mathbf{r},t)\) lungo un asse orizzontale \(x\), e sopra questa curva indicare un operatore \(\hat{A}\), ad esempio l’operatore posizione \(\hat{x}\) o impulso \(\hat{p}\). Mostrare poi come, applicando \(\hat{A}\) a \(\psi(\mathbf{r},t)\), si ottiene una nuova funzione, e come la complessa coniugata \(\psi^*(\mathbf{r},t)\) moltiplicata per questa nuova funzione e integrata su tutto lo spazio dia un valore numerico reale.

1. Segnare sul lato sinistro \(\hat{A}\): se si tratta di posizione, \(\hat{x}\) è un semplice moltiplicatore \(x\), se si tratta di impulso in una dimensione, \(\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\).

2. Disegnare l’andamento qualitativo di \(\psi(x,t)\) come un’onda localizzata attorno a una certa regione. Mostrare che la valutazione di \(\langle A \rangle\) comporta: \[ \langle A \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,t)\,\hat{A}\,\psi(x,t)\, dx. \] 3. Specificare che se \(\hat{A} = \hat{x}\), allora \[ \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x|\psi(x,t)|^2 dx, \] mentre se \(\hat{A} = \hat{p}\), \[ \langle p \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,t) \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi(x,t)\,dx. \] 4. Sottolineare con il gesso che il risultato è sempre reale e che modificando lo stato \(\psi(x,t)\), \(\langle A \rangle\) cambia, riflettendo una proprietà statistica dello stato.

Questa procedura porta dunque ad interpretare gli operatori come mediatori tra stato e misura. Nessuna singola misura di un sistema produce necessariamente il valore di aspettazione, ma l’esecuzione ripetuta dell’esperimento su molti sistemi identicamente preparati fornirà un valore medio che tende a \(\langle A \rangle\).

Ulteriore Dettaglio: Dalla Definizione all'Interpretazione Probabilistica

Dal punto di vista matematico, il valore di aspettazione è essenzialmente una media statistica calcolata sulla funzione d’onda, che gioca il ruolo di ampiezza di probabilità. Per rendere più chiari i passaggi, si possono considerare i seguenti punti alla lavagna, espandendo i concetti già mostrati:

  1. Da osservabile classico a operatore quantistico: Nel passaggio dalla fisica classica a quella quantistica, grandezze come posizione \(x\) o impulso \(p\) non sono più semplici variabili, ma diventano operatori lineari che agiscono su \(\psi\). - Per la posizione: \(\hat{x}\psi(x) = x\psi(x)\). - Per l’impulso (in una dimensione): \(\hat{p}\psi(x) = -i\hbar \frac{d}{dx}\psi(x)\). Questa sostituzione è cruciale per comprendere come ottenere i valori di aspettazione: non si sostituisce semplicemente un numero, ma si fa agire un operatore sulla funzione d’onda.
  2. Applicazione dell’operatore alla funzione d’onda: Se vogliamo calcolare \(\langle A \rangle\), dobbiamo prima calcolare \(\hat{A}\psi\). Ad esempio, se \(\hat{A}=\hat{p}\), \[ \hat{p}\psi(x,t) = -i\hbar\frac{d}{dx}\psi(x,t). \] Questo produce una nuova funzione d’onda, diciamo \(\phi(x,t) = \hat{A}\psi(x,t)\).
  3. Formare il prodotto scalare per ottenere \(\langle A \rangle\): Una volta ottenuta \(\phi(x,t) = \hat{A}\psi(x,t)\), il valore di aspettazione è: \[ \langle A \rangle = \int \psi^*(x,t)\phi(x,t) dx. \] Poiché \(\phi(x,t)\) e \(\psi(x,t)\) sono in generale funzioni complesse, l’integrale produrrà un numero complesso. Tuttavia, l’ermiticità dell’operatore \(\hat{A}\) assicura che questo numero sia reale. Alla lavagna, si può evidenziare come la parte immaginaria si annulli grazie al fatto che \(\hat{A}\) = \(\hat{A}^\dagger\).
  4. Interpretazione probabilistica: Il modulo quadro \(|\psi(x,t)|^2\) è una densità di probabilità di trovare la particella a \(x\) al tempo \(t\). Quindi, quando calcoliamo \(\langle x \rangle\), esso diventa: \[ \langle x \rangle = \int x |\psi(x,t)|^2 dx, \] cioè la media statistica della posizione, come se \(|\psi(x,t)|^2\) fosse una distribuzione di probabilità. Per \(\langle p \rangle\), l’interpretazione è simile, ma l’impulso è ottenuto tramite un’operazione differenziale. In pratica, stiamo convertendo l’informazione codificata nella forma di \(\psi(x,t)\) in un “valore medio” di impulso. In un esperimento reale, ripetendo la misura dell’impulso su molti sistemi preparati nello stesso stato \(\psi\), la media dei valori misurati tenderà a \(\langle p \rangle\).
  5. Linearità e cambio di base: Il formalismo è lineare. Se abbiamo due stati \(\psi_1\) e \(\psi_2\), e formiamo \(\psi = a\psi_1 + b\psi_2\), il valore di aspettazione di \(\hat{A}\) nel nuovo stato è: \[ \langle A \rangle_\psi = |a|^2 \langle A \rangle_{\psi_1} + |b|^2 \langle A \rangle_{\psi_2} + \text{termini di interferenza}. \] Ciò mostra come combinare stati porta a combinare le previsioni statistiche. Inoltre, cambiando base (ad esempio dall’asse x all’asse p), possiamo calcolare il valore di aspettazione integrando non in x, ma nello spazio degli impulsi, sfruttando la trasformata di Fourier. La fisica non cambia: \(\langle A \rangle\) è invariato, ma i calcoli possono essere semplificati scegliendo la base adatta.

In sintesi, i passaggi matematici partono dall’azione dell’operatore sull’onda, l’integrazione con \(\psi^*\) per formare il valore di aspettazione e l’interpretazione probabilistica di \(|\psi|^2\). L’ermiticità dell’operatore \(\hat{A}\) garantisce la realtà di \(\langle A \rangle\), rendendo coerente il modello quantistico con misure fisiche reali.

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